Per citar aquest document: http://ddd.uab.cat/record/127022
Cellular approximations of infinite loop spaces and classifying spaces
Gavira Romero, Alberto
Castellana i Vila, Natàlia, dir. (Universitat Autònoma de Barcelona. Departament de Matemàtiques)
Universitat Autònoma de Barcelona. Departament de Matemàtiques

Publicació: [Barcelona] : Universitat Autònoma de Barcelona, 2014
Descripció: 1 recurs electrònic (102 p.)
Resum: Dado un espacio topológico punteado A, E. Dror-Farjoun introduce en 1995 la noción de A-homotopía, donde A y sus suspensiones juegan el mismo papel que las esferas en homotopía clásica. Por tanto se definen los grupos de A-homotopía de un espacio punteado X como las clases de homotopía de aplicaciones definidas desde las suspensiones de A a X. La idea de CW-complejo es sustituida por la de espacio A-celular, i. e. , un espacio construido mediante ciertos colímites homotópicos punteados de A de manera iterada. El concepto de aproximación celular es remplazada por la de aproximación A-celular, esto es, un espacio A-celular CWAX junto con una aplicación natural CWAX → X que induce una equivalencia entre los espacios de aplicaciones punteadas map*(A, CWAX) y map*(A, X), y por tanto un isomorfismo en grupos de A-homotopía. Sea p un número primo. En este trabajo estudiamos la A-celularización, donde A es un espacio clasificador del tipo BZ/pm, BZ/p∞ o un producto de estos, de dos familias de espacios: los espacios ΣBZ/p-acíclios salvo p-completación, y los espacios clasificadores de grupos p-locales compactos. En el primer caso vemos que la A-celularización de un espacio ΣBZ/p-acíclio salvo p-completación 1-conexo X es equivalente a la fibra homotópica de la racionalización X^p → (X^p)Q. Como ejemplos tenemos los espacios de lazos infinitos y las torres de Postnikov 1-conexos con segundo grupo de homotopía de torsión. En el segundo caso, dado un grupo p-local compacto (S, F , L ), para el estudio de la celularización de |L |^p definimos el núcleo de una aplicación f : |L |^p → Y^p como el subgrupo de S formado por los elementos x tales que la restricción de f al espacio clasificador del grupo generado por x es homotópicamente trivial. Demostramos que, bajo ciertas hipótesis sobre |L |^p, si el núcleo de cierta aplicación determinante en el cálculo de la celularización es todo el p-grupo S, entonces la A-celularización de |L |^p es equivalente a la fibra homotópica de la racionalización |L |^p → (|L |^p)Q . En el caso finito somos un más precisos, demostrando que si (S, F , L ) es un grupo p-local finito entonces |L |^p es BZ/pm -celular si y solamente si dicho núcleo es igual al mínimo subgrupo de S fuertemente cerrado que contiene toda la pi-torsión para i ≤ m. En el caso de un grupo de Lie compacto y conexo probamos que existe un entero no negativo m0 tal que para todo m ≥ m0 la (BZ/p∞ x BZ/pm)-celularización de BG^p es equivalente a la fibra homotópica de la racionalización BG^p → (BG^p)Q.
Resum: Given a pointed topological space A, in 1995 E. Dror-Farjoun introduced the notion of A-homotopy, where A and its suspensions play the same role of the spheres in classical homotopy. Therefore the A-homotopy groups of a pointed space X are defined as the homotopy classes of maps from the suspensions of A to X. The idea of CW-complex is replaced by the one of A-cellular space, i. e. , a space constructed by certain iterated homotopy colimits from A. The concept of cellular approximation is replaced by the A-cellular approximation, this is, a space A-cellular CWAX together with a natural map CWAX → X which induces an equivalence in the mapping spaces map*(A, CWAX) and map*(A, X), and hence an isomorphism in A-homotopy groups. Let p be a prime. In this work we study the A-cellularization, where A is a classifying space of type BZ/pm, BZ/p∞, or a product of these, of two families of spaces: the ΣBZ/p-acyclic spaces up to p-completion and the classifying spaces of p-local compact groups. In the first case we prove that the A-cellularization of a 1-connected ΣBZ/p-acyclic space up to p-completion X is equivalent to the homotopy fibre of the rationalization X^p → (X^p)Q. . Examples include the 1-connected infinite loop spaces and Postnikov pieces whose second homotopy group is a torsion group. In the second case, given a p-local group compact (S, F , L ), for the study of the A-cellularization of |L |^p, we define the kernel of a map f : |L |^p → Y^ as the subgroup of S formed by the elements x which the restriction of f to the classifying space of the group generated by x is null-homotopic. Under certain assumptions on |L |^p, we show that if the kernel of a certain map, which is determinant in the computation of the A-cellularization, is the p-group S, then the A-cellularization of |L |^p is the homotopy fibre of the rationalization |L |^p → (|L |^p)Q. In the finite case we are more precise, we prove that if (S, F , L ) is a finite p- local group, then |L |^p is BZ/pm-cellular if and only if the kernel of this map is equal to the minimal strongly F -closed subgroup in S that contains all the pi-torsion for i ≤ m. In the case of a compact Lie group, we prove that there is a non-negative integer m0 such that for all m ≥ m0, the (BZ/p∞ x BZ/pm)-cellularization of BG^p is equivalent to the homotopy fibre of the rationalization BG^p → (BG^p)Q.
Nota: Tesi doctoral - Universitat Autònoma de Barcelona. Departament de Matemàtiques, 2014
Drets: ADVERTIMENT. L'accés als continguts d'aquesta tesi doctoral i la seva utilització ha de respectar els drets de la persona autora. Pot ser utilitzada per a consulta o estudi personal, així com en activitats o materials d'investigació i docència en els termes establerts a l'art. 32 del Text Refós de la Llei de Propietat Intel·lectual (RDL 1/1996). Per altres utilitzacions es requereix l'autorització prèvia i expressa de la persona autora. En qualsevol cas, en la utilització dels seus continguts caldrà indicar de forma clara el nom i cognoms de la persona autora i el títol de la tesi doctoral. No s'autoritza la seva reproducció o altres formes d'explotació efectuades amb finalitats de lucre ni la seva comunicació pública des d'un lloc aliè al servei TDX. Tampoc s'autoritza la presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a TDX (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant als continguts de la tesi com als seus resums i índexs.
Llengua: Anglès.
Document: Tesis i dissertacions electròniques ; doctoralThesis ; publishedVersion
Matèria: Homotopy theory ; p-local compact group ; Cellularization
ISBN: 9788449043680

Adreça alternativa: http://hdl.handle.net/10803/133278


102 p, 537.4 KB

El registre apareix a les col·leccions:
Documents de recerca > Tesis doctorals

 Registre creat el 2014-12-14, darrera modificació el 2016-10-27



   Favorit i Compartir