| Abstract: |
Ever since the concept of homeomorphism was clearly defined, the "ultimate" problem in topology has been to classify topological spaces ''up to homeomorphism". That this was a hopeless undertaking was very soon apparent, the subspaces of the plane R2 being an obvious example. From this impossibility were born algebraic and differential topology, by a shift of emphasis which consisted in associating "invariant" objects to some types of spaces (objects are the same for two homeomorphic spaces). At first these objects were integers, but it was soon realized that much more information could be extracted from invariant algebraic structures such as groups and rings. (Jean Dieudonné, A history of algebraic and differential topology 1900--1960) Aquesta és una bona descripció de la filosofia d'aquesta disciplina. En aquest curs introduïm els invariants algebraics més bàsics que podem associar a un espai topològic (en particular a una varietat) i que ens proporcionen una primera aproximació a les propietats globals d'aquests objectes. Amb especial èmfasi al grup fonamental, als grups de homologia i les àlgebres de cohomologia. Amb això obrim les portes a una teoria que s'ha desenvolupat durant el segle XX i que continua donant resultats apassionants com ara la solució de la conjectura de Poincaré (Perelman, 2003, http://ca. wikipedia. org/wiki/Conjectura_de_Poincaré), la solució de la (una de les) conjectura de Munford per Madsen i Weiss (2007 http://en. wikipedia. org/wiki/Mapping_class_group) o la solució del problema de l'invariant de Kervaire 1 en dimensions diferents de 126 (Hill-Hopkins-Ravenel, 2009, http://en. wikipedia. org/wiki/Kervaire_invariant). |
guest ::
