Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 16 (2019) 321-331 www.revista-riai.org Control deslizante fraccionario de la trayectoria y orientación de un quadrotor con cargas suspendidas desconocidas Nasim Ullaha, Muhammad Asghar Alib, Asier Ibeasc*, Jorge Herrerad,e a Department of Electrical Engineering and Technology, University of Technology Nowshera, Nowshera, Paquistán. b Qurtuba University of Science and Information Technology, Dera Ismail Khan, Paquistán. c Departamento de Telecomunicaciones e Ingeniería de Sistemas, Universitat Autònoma de Barcelona, 08193, Bellaterra (Barcelona), España. d Departamento de Ingeniería, Facultad de Ciencias Naturales e Ingeniería, Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano, 110111, Bogotá D. C., Colombia. e Departamento de Electrónica y Telecomunicaciones, Facultad de Ingenierías, Instituto Tecnológico Metropolitano, 050036, Medellín, Antioquia, Colombia. Resumen Este artículo diseña un sistema de control para el problema de seguimiento de trayectorias de un vehículo quadrotor con una carga suspendida desconocida. La presencia de esta carga desconocida incrementa considerablemente la complejidad del problema, y su oscilación actúa como una perturbación incierta que afecta a la dinámica propia del vehículo. De esta forma, la trayectoria global del quadrotor puede verse enormemente afectada a pesar de la existencia de un controlador nominal para él. Este artículo propone el diseño de un control deslizante de orden fraccionario para la solución de este problema. Junto con el diseño de la ley de control se prueba la estabilidad del sistema en lazo cerrado a través del método de Lyapunov para sistemas fraccionarios. El desempeño obtenido por el controlador propuesto se compara con el control en modo deslizante clásico observando que el controlador propuesto mejora significativamente los resultados obtenidos. Palabras Clave: Control de quadrotores; Control en modo deslizante; Control fraccionario; Sistemas dinámicos inciertos; control de trayectoria. Sliding Fractional Order Trajectory and Attitude Control of a Quadrotor Transporting Cable-Suspended Unknown Payloads Abstract This article designs a control system for the trajectory tracking problem of a quadrotor vehicle with an unknown suspended load. The presence of this unknown load considerably increases the complexity of the problem while its oscillation acts as an unknown perturbation that affects the dynamics of the vehicle. In this way, the overall trajectory of the quadrotor can be greatly affected despite the existence of a nominal controller for it. This article proposes the design of a fractional order sliding mode control for the solution of this problem. Along with the design of the control law, the stability proof of the closed-loop system is carried out by using the Lyapunov method for fractional systems. The performance obtained by the proposed controller is compared with the classic sliding mode control, observing that the proposed controller significantly improves the results. Keywords: Quadrotor control; sliding-mode control; Fractional control; Uncertain dynamic systems; Trajectory control. 1. Introducción grados de libertad que describe la traslación y rotación de un rotor cuádruple se modela como seis ecuaciones diferenciales En los últimos tiempos los rotores cuádruples no lineales (Gupte et al., 2012). El modelo de seis grados de (quadrotores) han encontrado numerosas aplicaciones en la libertad obtenido de esta forma permite la formulación de los industria de defensa, vigilancia de campos de petróleo, controladores de altitud, posición horizontal (posición en tres agricultura y transporte de cargas suspendidas, por citar dimensiones, en definitiva) y actitud (orientación). Dada la algunas de ellas. Generalmente, la dinámica global de seis complejidad del modelo matemático, la formulación de los ____________________ *Autor para la correspondencia: asier.ibeas@uab.cat To cite this article: Nasim Ullah, Muhammad Asghar Ali, Asier Ibeas, Jorge Herrera. 2019. Sliding Fractional Order Trajectory Control of Quadrotor Transporting Cable-Suspended Unknown Payloads. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16, 321-331. https://doi.org/10.4995/riai.2018.9951 Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4,0 International (CC BY-NC-ND 4,0) 322 N. Ullah et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16 (2019) 321-331 lazos de control y la demostración de estabilidad pueden ser lineal del vehículo seguida de un control lineal basado en tareas muy complicadas, (Cruz et al., 2015), (Yáñez-Vadillo control robusto H2 / H∞ . En (Das, 2018) se presenta un et al., 2017). Éste es el caso de las aplicaciones de transporte control de trayectoria basado en inversión dinámica del de cargas suspendidas, en las que la dinámica propia del modelo del sistema para obtener un vuelo estable con un quadrotor se acopla a la dinámica de la carga, lo que aumenta balanceo limitado de la carga. Por otro lado, en (Cruz et al., la complejidad del sistema. Debido a que la carga suspendida 2017) se discute una estrategia de control específicamente puede oscilar en el plano bidimensional paralelo al para la fase de elevado de un quadrotor con una carga movimiento horizontal del quadrotor, el sistema completo suspendida que también emplea el método de la inversión dispone de, al menos, ocho grados de libertad. La dinámica dinámica. En (Yi et al., 2017) se diseña un sistema de control de la carga útil oscilante suspendida del cuerpo de la nave basado en modos deslizantes. El diseño diferencia los puede interpretarse como una perturbación desconocida que problemas de seguimiento de trayectoria y de orientación y afecta ostensiblemente a la dinámica original del vehículo. En está basado en un control deslizante entero clásico donde la consecuencia, incluso en presencia de un sistema de control superficie deslizante es de tipo proporcional derivativa. En para el quadrotor nominalmente estable, el vuelo puede ser (Wu et al., 2017) se propone un control basado en inestable (Cruz et al., 2015), (Dai et al., 2014). Esta situación linealización a lo largo de la trayectoria planeada y control puede ser aún más complicada cuando la carga útil PID para el seguimiento de la trayectoria y orientación del suspendida es desconocida. quadrotor. El control no elimina el balanceo de la carga pero Se han realizado muchos esfuerzos de investigación mantiene limitada su amplitud. Asimismo, en (Alothman et orientados a tratar el problema del control de vuelo de al., 2016) se presenta un control óptimo LQR iterativo para quadrotores con cargas suspendidas desconocidas. Los conseguir el seguimiento de trayectoria sin balanceo. El autores de (Dai et al., 2014) propusieron un controlador algoritmo de control diferencia la fase de despegue de la de adaptable para un rotor cuádruple portador de una masa vuelo y linealiza el sistema alrededor de la trayectoria del desconocida suspendida cuyo modelo dinámico se explica en vehículo para resolver el problema de diseño del controlador. (Sadr et al., 2014). El trabajo (Outeiro et al., 2018) presenta El trabajo (Sreenath et al., 2013a) diseña un control el control de la altura de un quadrotor también basado en un geométrico no-lineal basado en la propiedad de planitud controlador adaptable, que automáticamente ajusta las (flatness) del sistema para conseguir el control de una de las ganancias de un control LQR. El sistema de control incorpora variables siguientes: orientación del quadrotor, posición u una estrategia multi-modelo para estimar el peso de la carga orientación de la carga, a elección del diseñador. Finalmente, suspendida y las variables de estado del sistema, incluyendo en (de Crousaz et al., 2014) se presenta un sistema de control la velocidad vertical del vehículo. Adicionalmente, (Feng et óptimo basado en LQG iterativo para solucionar el problema al., 2015) propone un sistema de control adaptable basado en de control de trayectoria del quadrotor con cargas la teoría de Lyapunov para el control de la altura y suspendidas. orientación del quadrotor. El controlador logra mantener la estabilidad del lazo cerrado y consigue un buen desempeño Para la realización de tareas más desafiantes por medio de en el seguimiento. El sistema de control adaptable funciona los UAV, se prefiere usualmente la manipulación adecuadamente cuando las incertidumbres varían en el tiempo cooperativa, en la que varios vehículos trabajan juntos en de forma lenta. Si se desea que el quadrotor realice un grupo. Para que múltiples vehículos realicen una misma tarea, movimiento de alta maniobrabilidad con cargas suspendidas, es vital establecer un algoritmo de coordinación inteligente. A entonces la dinámica del sistema se vuelve muy compleja y el modo de ejemplo, (Sreenath et al., 2013b) presenta uno de sistema de control adaptable puede no ser suficiente para estos algoritmos. Los autores de (Sreenath et al., 2013b) conseguir la respuesta deseada. En (Goodarzi et al., 2014) se propusieron un sistema de control dinámico y un algoritmo de propone un método de estabilización geométrica para este planificación apropiado para la manipulación cooperativa problema. En este trabajo, los autores modelan el cable utilizando múltiples UAV. Los autores de (Mellinger et al., suspendido como una cadena flexible compuesta por n 2013), (Thomas et al., 2014) , (Faust et al., 2014), (Liberi et componentes y utilizan una transformación del modelo a otro al., 2015) propusieron nuevos métodos de control para la libre de coordenadas para formular un control geométrico no realización de tareas cooperativas a través de múltiples lineal. El modelo tan complicado utilizado para el cable robots, mientras que el algoritmo de aprendizaje de refuerzo aumenta considerablemente la complejidad del modelo por lotes de muestreo finito se propone en (Faust et al., 2013) dinámico total, lo que conlleva el diseño de un controlador para entrenar el sistema de control de tal manera que se complejo. Los trabajos presentados en (Klausen et al., 2015), obtengan trayectorias libres de balanceo. (Wu et al., 2015), (Tang et al., 2015) se centran en la Por otro lado, el control en modo deslizante encuentra formulación de un sistema de control no lineal y su muchas aplicaciones en la industria aeroespacial. A modo de optimización a través de programación entera mixta. En (Shi ejemplo, (Sumantri et al., 2014), (Cruz et al., 2014), et al., 2018) se diseña un sistema de control de la orientación (Riccardi et al., 2014) proponen controladores robustos en anti-balanceo para la fase de vuelo diseñado a través de la modo deslizante para el problema considerado. Además, en teoría de Lyapunov y el método de Backstepping. El sistema (Muñoz-Vázquez et al., 2014) los autores presentaron de control compensa la perturbación que produce el balanceo algunos resultados en donde aplican el control en modo a través de la estimación del mismo por medio de un deslizante de orden fraccionario. El control robusto de orden observador armónico de estado extendido. Los autores de fraccionario se ha utilizado anteriormente para resolver el (Raffo et al., 2016), (Raffo et al., 2018) diseñan un sistema problema de control en sistemas no lineales con de control anti-balanceo para el seguimiento de trayectoria a incertidumbre (Ullah et al., 2015), (Ullah et al., 2016), través de una linealización entrada-salida del modelo no- (Asghar et al., 2017), (Ullah et al., 2017), (Aghababa et al., N. Ullah et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16 (2019) 321-331 323 2014), (Efe, 2008), (Ebrahimkhani, 2016), (Kang et al., 2017) θ L Ángulo de giro alrededor del eje y (pitch) de la carga así como para resolver el problema de control de la suspendida orientación del quadrotor (Izaguirre-Espinosa et al., 2016). No obstante, los métodos de control introducidos para el caso mQ Masa del quadrotor de cargas suspendidas tan sólo ofrecen una solución parcial mL Masa de la carga suspendida del problema, puesto que o bien se basan en la dinámica l Longitud del brazo del quadrotor lineal del sistema, o bien se formulan para una aplicación más L Longitud del cable que conecta la carga con el simple como únicamente el despegue o el aterrizaje de los quadrotor quadrotores o bien no resuelven simultáneamente el problema de seguimiento de la posición y orientación del quadrotor. A I x, I y, I z Momentos de inercia del quadrotor alrededor de partir del análisis de los trabajos previos, este artículo los ejes x, y, z propone un sistema de control robusto basado en modos Tc Tensión del cable deslizantes de orden fraccionario para tratar el problema de seguimiento de trayectoria (tanto de posición como de Ωr Velocidad angular del quadrotor orientación) de un quadrotor con cargas suspendidas U Señales de control desconocidas, en cualquier fase de vuelo. El sistema de g Aceleración de la gravedad control está compuesto por tres lazos que controlan, respectivamente, la orientación, la altitud y la posición en el Con la notación introducida y las Suposiciones (1)-(3) plano horizontal. Este trabajo formula el algoritmo de control, realizadas anteriormente el modelo dinámico del sistema se prueba en un escenario general a través de simulación acoplado quadrotor-carga suspendida se puede expresar numérica y se comparan los resultados obtenidos con el como, (Gupte et al., 2012): controlador en modo deslizante clásico. Los resultados U T obtenidos muestran un desempeño superior del controlador X!! = (sinψ sin φ + cosψ sin θ cos φ ) 1 − sin θ L cos φ L c (1) deslizante propuesto frente al control deslizante mQ mQ convencional. U T El artículo está organizado de la siguiente forma. La Y!! = (− cosψ sin φ + sinψ sin θ cos φ ) 1 + sin θ L sin φ L c mQ mQ sección 2 presenta el modelo matemático del sistema compuesto por el quadrotor y la carga suspendida. La sección (2) 3 introduce el diseño del controlador y la demostración de U T T estabilidad mientras que la sección 4 contiene los resultados Z!! = g − (cosθ cos φ ) 1 + sin θ L sin φ L c − cosθ L c (3) mQ mQ mQ de simulación y su discusión. Finalmente, la sección 5 presenta las conclusiones del artículo. I y − Iz J l φ!! = θ!ψ! − r θ! Ω r + U 2 (4) Ix Ix Ix 2. Modelado matemático del sistema I −I J l θ!! = z x φ!ψ! − r θ! Ω r + U 3 (5) Iy Iy Iy Esta sección describe el modelo dinámico no lineal que representa a un quadrotor que transporta una carga Ix − I y l ψ!! = φ!θ! + U 4 (6) suspendida desconocida. Se realizan las siguientes Iz Iz suposiciones: l T φ!!L = − Lsin θ L cos φ L c (7) Suposición 1. El quadrotor se comporta como un sólido mL mL rígido simétrico. l T Suposición 2. La carga se encuentra suspendida del centro θ!!L = − Lsin θ L cos φ L c (8) mL mL de masas del quadrotor a través de un cable sin masa. Suposición 3. La resistencia del aire al avance de todo el Las ecuaciones (1)-(6) representan el modelo dinámico del sistema está incluida en el modelo. quadrotor mientras que (7)-(8) describen la carga que se balancea suspendida y que está colgando del centro de masas Los símbolos y notaciones utilizadas son: del quadrotor. Las ecuaciones (1)-(3) muestran asimismo que la dinámica traslacional del quadrotor está afectada por la X ,Y ,Z Posición del centro de masas del quadrotor en el dinámica de balanceo de la carga suspendida, (Gupte et al., sistema de coordenadas tierra 2012). El problema de control a resolver es obligar al quadrotor a seguir una trayectoria de referencia de posición y φ Ángulo de giro del quadrotor alrededor del eje x, orientación predeterminada, a pesar del desconocimiento de ángulo de roll la masa suspendida. θ Ángulo de giro del quadrotor alrededor del eje y, ángulo de pitch 3. Diseño del controlador ψ Ángulo de giro del quadrotor alrededor del eje z, ángulo de yaw Esta sección está dedicada al diseño de los controladores φ L Ángulo de giro alrededor del eje x (roll) de la carga de orientación, altitud y posición del quadrotor. La Figura 1 muestra los tres lazos de control utilizados con este propósito. suspendida 324 N. Ullah et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16 (2019) 321-331 I y − Iz Jx l Iz − Ix en donde a1 = ,a2 = ,b = ,a3 = , Ix Ix 1 x Iy Jr l I − Iy l a4 = ,b2 = , a5 = x y b3 = , entonces las leyes de Iy Iy Iz Ix control equivalente U 2eq y conmutado U 2sw se pueden representar como: 1 U 2eq = (−k1 Dα /2 eφ − a1θ!ψ! + a2θ! Ω r + φ!!d ) (12) b1 kd1 −α /2 U 2sw = D (sgn(Sφ )) (13) b1 Figura 1. Esquema de control de tres lazos. A partir de estas ecuaciones podemos definir la ley de En la Figura 1 se observa cómo el problema global de control final como U 2 = U 2eq − U 2sw . Con esta ley de control seguimiento de trayectoria se resuelve con el diseño de tres podemos garantizar la estabilidad y seguimiento de referencia lazos anidados, en donde cada uno de ellos dispone de un para el ángulo φ . La derivación del controlador para el resto cometido específico. Uno de los objetivos de mayor del ángulos sigue un camino similar. Si elegimos ahora las importancia desde el punto de vista del control es la α estabilización de la orientación del quadrotor en el espacio 1− superficies deslizantes como Sθ = k2 eθ + D 2 e!θ y libre. El lazo interno del sistema de control se utiliza para α lograr este objetivo primordial. Una vez se ha conseguido 1− estabilizar la orientación, los otros dos lazos permiten Sψ = k3eψ + D 2 e!ψ , los controladores U 3 y U 4 se formulan garantizar el seguimiento de las consignas de referencia de como: posición (en el plano) y altitud en las coordenadas x, y y z. En 1 particular, el lazo exterior es el encargado de garantizar el U 3eq = (−k2 Dα /2 eθ − a3φ!ψ! + a4φ! Ω r + θ!!d ) (14) b2 seguimiento de la altitud mientras que el que se encuentra en la posición intermedia se encarga de la posición en el plano kd 2 −α /2 horizontal. U 3sw = D (sgn(Sθ )) (15) b2 3.1. Control de la orientación 1 U 4eq = (−k3 Dα /2 eψ − a5φ!θ! + ψ!! d ) (16) En esta sección se muestra el diseño del controlador de b3 orientación basado en modo deslizante fraccionario. Sean los kd 3 −α /2 ángulos de referencia de orientación (consignas de U 4sw = D (sgn(Sψ )) (17) b3 orientación) φd ,θ d ,ψ d . Se diseñará un controlador para cada con U 3 = U 3eq − U 3sw y U 4 = U 4eq − U 4sw . Los parámetros ángulo a partir de la definición de una superficie deslizante fraccional adecuada. El diseño comienza para el ángulo de k1 , k2 , k3 , kd1 , kd 2 , kd 3 que aparecen en (9)-(17) representan roll φ y continúa con el resto de ángulos que definen la constantes positivas de libre diseño y deben ser seleccionadas orientación. Entonces, la superficie deslizante fraccional se de tal forma que se garantice la estabilidad del lazo cerrado. elige como*: Con objeto de demostrar que el controlador propuesto es 1− α capaz de garantizar la estabilidad y conseguir el seguimiento Sφ = k1eφ + D 2 e!φ (9) de las trayectorias de referencia para la orientación se propone la siguiente candidata a función de Lyapunov, donde k1 es una constante positiva de diseño y 1 eφ = φ − φd , e!φ = φ! − φ!d . Si tomamos ahora el operador de V = Sφ 2 (se muestra la demostración de estabilidad en el 2 derivación fraccional en ambos lados de (9) obtenemos: caso del ángulo φ mientras que la demostración para el resto α de ángulos es semejante). Si aplicamos el operador de Dα Sφ = k1 Dα eφ + D 2 e!!φ (10) derivación fraccionaria Dα a V obtenemos (Aghababa et al., Esta ecuación será utilizada más adelante en el cálculo de 2014), (Efe, 2008): la derivada de la función de Lyapunov propuesta para demostrar la estabilidad del lazo cerrado del control de ∞ ϒ(1+ α ) orientación (Ecuación (18)), de acuerdo a los resultados de DαV = Sφ Dα Sφ + ∑ D j Sφ Dα − j Sφ estabilidad fraccionaria discutidos en (Aghababa et al., 2014) j=1 ϒ(1− j + α )ϒ(1+ j) y (Efe, 2008). Si (4) y (10) se combinan para obtener: (18) α Por otro lado, se tiene que (Ullah et al., 2015): Dα Sφ = k1 Dα eφ + D (a1θ!ψ! − a2θ! Ω r + b1U 2 − φ!!d ) 2 (11) ∞ ϒ(1+ α ) * En todo el artículo, la notación D α indica la derivada ∑ ϒ(1− j + α )ϒ(1+ j) D S D j φ α− j Sφ ≤ Ω(Sφ ) (19) j=1 fraccionaria de Riemann-Liouville. N. Ullah et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16 (2019) 321-331 325 donde Ω es una constante positiva que puede depender de diseñado el control para U z cuando la señal de control real es Sφ . Si combinamos ahora (11), (12), (13), (18) y (19) U1 . Se propone la siguiente candidata a función de Lyapunov obtenemos: 1 1 α Vz = (S z 2 + F 2 ) para probar la estabilidad del lazo DαV ≤ Sφ (k1 Dα eφ + D 2 (a1θ!ψ! − a2θ! Ω r + b1U 2 − φ!!d )) + Ω(Sφ ) 2 ζ1 cerrado de altitud. Si aplicamos el operador Dα de derivación (20) fraccionaria a Vz se obtiene: que puede re-escribirse como: ⎧ α 1 ∞ ϒ(1+ α ) DαV ≤ Sφ ((−kd1 (sgn(Sφ ))) + Ω(Sφ ) (21) ⎪ D Vz = S z D S z + FD F + ∑ α α D j S z Dα − j S z ⎪ ζ1 j=1 ϒ(1− j + α )ϒ(1+ j) Si elegimos la constante de tal forma que kd1 > Ω + σ , ⎨ ∞ ⎪ ϒ(1+ α ) ⎪+ ∑ ϒ(1− j + α )ϒ(1+ j) D FD F j α− j donde σ es una constante estrictamente positiva, entonces se ⎩ j=1 puede probar fácilmente que DαV ≤ 0, de tal forma que se satisfice la condición de llegada a la superficie deslizante y se (26) consigue que Sφ = 0 , logrando el objetivo de control. Si combinamos ahora (19), (24), (25) y (26) llegamos a: 1 DαVz ≤ S z (−kd 4 (sgn(S z ) + F + FDα F + Ω(S z ) + Ω(F )) 4.2. Controladores de altitud y posición horizontal ζ1 (27) En esta sección se muestra el diseño de los controladores que puede re-escribirse como: de altitud y posición horizontal del quadrotor del que cuelga 1 una carga de masa desconocida. En primer lugar se diseña el DαVz ≤ −kd 4 S z + S z F + FDα F + Ω(S z ) + Ω(F ) (28) controlador de altitud y, a continuación, se formula el ζ1 controlador de posición. Dada la complejidad de la dinámica Si hacemos que Dα F = −ζ 1S z y elegimos traslacional del vehículo, en primer lugar se diseñarán unas leyes de control virtuales de donde posteriormente se kd 4 > Ω(S z ) + Ω( F ) α es fácil probar que D Vz ≤ 0 , lo que obtendrán las leyes de control a aplicar efectivamente. demuestra que la estabilidad y el objetivo del control se Finalmente, de los controladores de posición se calculará la cumplen. Para diseñar el sistema de control de posición se referencia de orientación para el vehículo a través de una parte de las ecuaciones simplificadas del movimiento transformación matricial apropiada (ver Figura 1). Si z d horizontal plano, dadas por: representa la consigna de altura deseada, la superficie U X!! = (sinψ sin φ + cosψ sin θ cos φ ) 1 + F1 (29) deslizante se define como: mQ α S z = k4 ez + D 1− 2 e!z U (22) Y!! = (− cosψ sin φ + sinψ sin θ cos φ ) 1 + F2 (30) mQ en donde k4 es una constante positiva de diseño y ez = z − zd , e!z = z! − z!d . Si tomamos el operador de derivación Tc Tc en donde F1 = − sin θ L cos φ L y F2 = sin θ L sin φ L mQ mQ fraccional Dα en ambos lados de (22) obtenemos: α representan perturbaciones (desconocidas) que actúan en los α α D S z = k4 D ez + D e!!z 2 (23) ejes X ,Y debido al balanceo que realiza la carga de pago suspendida del quadrotor. Consideremos las superficies Si combinamos ahora (23) y (3) el resultado es: deslizantes dadas por: Dα S z = k4 Dα ez ⎧ 1− α α U1 T T S ⎪ x = k e 5 x + D 2 ! ex + D 2 (g − (cosθ cos φ ) + sin θ L sin φ L c − cosθ L c − !! z d )) ⎨ α (31) mQ mQ mQ ⎪ S = k e + D1− 2 e! ⎩ y 6 y y (24) donde k5 y k6 son constantes positivas de diseño y ⎛ Tc T ⎞ ex = X − X d , e!x = X! − X! d ,ey = Y − Yd , e!y = Y! − Y!d . en donde F = ⎜ sin θ L sin φ L − cosθ L c ⎟ es un valor ⎝ mQ mQ ⎠ Si aplicamos el operador fraccionario Dα en ambos lados desconocido que depende del valor de la carga suspendida. de (31) y combinamos el resultado con (29) y (30) se obtiene: Entonces, el controlador de altitud se escribe como: α ⎧ α α U1 − α /2 α ⎪ D S x = k5 D ex + D ((sinψ sin φ + cosψ sin θ cos φ ) 2 + F1 − X!!d ) U Z = (k4 D ez − !! 2 zd + kd 4 D sgn(S z )) (25) ⎪ m Q ⎨ U α ⎪ Dα S = k Dα e + D 2 ((− cosψ sin φ + sinψ sin θ cos φ ) U1 + F − Y!! ) en donde el término U z = Z!! = g − (cosθ cos φ ) 1 ⎪ y 6 y 2 d mQ ⎩ mQ representa una ley de control virtual, puesto que hemos (32) 326 N. Ullah et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16 (2019) 321-331 Simplifiquemos ahora (32) definiendo las leyes de control ⎡cosθ cosψ sin θ cosψ sin φ − sinψ cos φ sin θ cosψ cos φ + sinψ cos φ ⎤ ⎢ ⎥ virtuales para x e y como U x y U y dadas por ⎢cosθ sinψ sin θ sinψ sin φ + cosψ cos φ sin θ sinψ cos φ − cosψ sin φ ⎥ ⎢⎣ − sin θ cosθ sin φ cosθ cos φ ⎥⎦ U U x = X!! = (sinψ sin φ + cosψ sin θ cos φ ) 1 y mQ (38) U Si en (37) movemos el término mQ gZ e a la izquierda de la U y = Y!! = (− cosψ sin φ + sinψ sin θ cos φ ) 1 . Las expresiones mQ ecuación y multiplicamos la ecuación resultante por RT de control para U x y U y se escriben entonces como: llegamos a: TZ ⎧ −α RT (U − gZ e ) = e (39) mQ ⎪U x = ( X!!d − k5 D ex − kd 5 D sgn(S x )) α /2 2 ⎨ −α (33) en donde U = V! = (U x ,U y ,U z )T y de donde podemos ⎪U = (−Y!! + k Dα /2 e − k D 2 sgn(S )) ⎩ y d 6 y d6 y despejar el empuje total T. Si utilizamos ahora el Se propone la siguiente candidata a función de Lyapunov, procedimiento descrito en (Zuo et al., 2010), las referencias 1 1 1 para el empuje (mostradas en la Figura 1), y los ángulos de Vxy = (S x 2 + S y 2 + F12 + F2 2 ) , para probar la estabilidad roll y pitch se expresan como: 2 ζ2 ζ3 del sistema de control de posición horizontal. Si derivamos ⎧ ⎫ Vxy con el operador Dα obtenemos: ⎪ U x cosψ c + U y sinψ c ⎪ ⎪θ d = tan ( −1 ) ⎪ Uz ⎧ α α α 1 α 1 α ⎪ ⎪ ⎪ D Vxy = S x D S x + S y D S y + ζ F1 D F + ζ F2 D F2 + ⎪⎪ U x sinψ c − U y cosψ c ⎪⎪ ⎨φd = sin ( −1 ⎪ 2 3 ) ⎬ ⎪ ∞ ϒ(1+ α ) ⎪ Ux +U y +Uz 2 2 2 ⎪ ⎪∑ D j S xy Dα − j S xy ⎪ ⎪ ⎪⎪ j=1 ϒ(1− j + α )ϒ(1+ j) ⎪ ⎡U x (sin θ cosψ cos φ + sinψ sin φ ) ⎤⎪ ⎨ ∞ (34) ⎪ T = mQ⎢ ⎥⎪ ⎪+ ϒ(1+ α ) ⎪⎩ ⎢⎣ +U y (sin θ sinψ cos φ − cosψ sin φ ) + U z cosθ cos φ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪ ∑ D j F1 Dα − j F1 j=1 ϒ(1− j + α )ϒ(1+ j) (40) ⎪ ⎪ ∞ ϒ(1+ α ) ⎪+ ∑ D j F2 Dα − j F2 De esta forma hemos concluido el diseño de los ⎪⎩ j=1 ϒ(1− j + α )ϒ(1+ j) controladores deslizantes de tipo fraccionario. Si utilizamos ahora (19) podemos simplificar (34) y tener: ⎧ α α α 1 α 1 α ⎪ D Vxy ≤ S x (D S x ) + S y (D S y ) + ζ F1 D F1 + ζ F2 D F2 + Ω(S xy ) + 4. Resultados numéricos y discusión ⎨ 2 3 ⎪Ω(F ) + Ω(F ) ⎩ 1 2 Esta sección presenta algunos resultados numéricos de (35) simulación con objeto de mostrar el buen funcionamiento del Si combinamos ahora (35) con (32) y (33) se tiene: controlador propuesto. Los resultados obtenidos con el ⎧ α 1 α controlador deslizante fraccionario se compararán con los de ⎪ D Vxy ≤ −kd 5 S x + F1S x + ζ F1 D F1 − kd 6 S y + F2 S y un control deslizante clásico cuando además del balanceo ⎪ 2 ⎨ (36) desconocido existe una incertidumbre del 25% en los 1 ⎪+ F D F + Ω(S ) + Ω(F ) + Ω(F ) α parámetros que describen la dinámica traslacional del ⎪⎩ ζ 3 2 2 xy 1 2 quadrotor. De esta forma probamos el controlador en una Si elegimos ahora las leyes adaptativas fraccionarias para situación muy exigente. En primer lugar se han ajustado los estimar la perturbación que supone la carga suspendida como parámetros del control deslizante clásico para obtener una Dα F1 = −ζ 2 S x , Dα F2 = −ζ 3S y , entonces la selección de buena respuesta de seguimiento con la menor oscilación posible. En este sentido, el control deslizante clásico se ha kd 5 ,kd 6 > Ω(S xy ) + Ω(F1 ) + Ω(F2 ) permite probar que sintonizado para obtener el mejor resultado posible. Posteriormente, se han utilizado los mismos valores como DαVxy ≤0 , satisfaciéndose el objetivo de control. Para parámetros del controlador deslizante fraccional y calcular el empuje real T , y las trayectorias de referencia roll adicionalmente se ha determinado el orden fraccionario. De y pitch θ d y φd respectivamente, la dinámica nominal esta manera se puede observar cómo el control propuesto es descrita por (1), (2) y (3) se puede combinar de la siguiente capaz de mejorar el mejor comportamiento que se podría forma (Zuo et al., 2010): obtener con el controlador deslizante clásico. El valor de α = 0.78 fue elegido a través de la toolbox de optimización TRZ e V! = gZ e + (37) de Matlab para conseguir una buena respuesta del quadrotor mQ en el seguimiento de trayectorias de tipo escalón en los tres donde V! = ( X!! , Y!!, Z!!)T y Z e = (0,0,1)T y la matriz de ejes. Los parámetros nominales del quadrotor utilizados en la simulación están recogidos en la Tabla 1. Los parámetros de transformación R se define en la forma (Zuo et al., 2010): configuración del controlador se han determinado como: N. Ullah et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16 (2019) 321-331 327 α = 0.78,k1 = 350,k2 = 509,k3 = 95,k4 = 97, puede ver el comportamiento del control deslizante clásico (SMC) mientras que en azul se muestra el comportamiento k5 = 329,k6 = 322,kd1 = 425,kd 2 = 53,kd 3 = 465, del control fraccionario propuesto (AFSMC). De los kd 4 = 305, resultados numéricos obtenidos se observa que el controlador propuesto consigue un mejor seguimiento de la trayectoria de kd 5 = 150,kd 6 = 367,ζ 1 = 500,ζ 2 = 400,ζ 3 = 468 referencia (un menor error de seguimiento) con menos Tabla 1: Parámetros del quadrotor oscilaciones no deseadas que un control deslizante clásico. Símbolo Caso 1 Caso 2 Unidades m 0.65 0.65 kg l 0.23 0.23 m b 3.13*10(−5) 3.13*10(−5) N s2 2 d 7.5*10(−7) 7.5*10(−7) N ms 2 Posición Z (m) Jr 6.5*10(−5) 6.5*10(−5) kg.m2 0 Ix 10 ^ (−3)Ns 2 rad −1 7.5 5.6 Iy 10 ^ (−3)Ns 2 rad −1 -2 7.5 5.6 0.2 15 Iz 10 ^ (−2)Ns 2 rad −1 0 10 1.3 0.98 5 0 Posición Y (m) -0.2 -5 Posición X (m) Figura 3. Trayectoria tridimensional de posición y altura. La masa de la carga suspendida y la longitud del cable están dados por (mL = 0.2Kg) y ( L = 0.5) , respectivamente. Las derivadas fraccionarias se han implementado a través del método propuesto por Oustalop siguiendo los pasos descritos 15 en (Ebrahimkhani, 2016), Sección 2 y (Kang et al., 2017), Sección 3.3. 10 Posición X (m) 3 2 5 Oscilación de la carga 1 0 0 −1 -5 0 5 10 15 20 −2 Tiempo(s) (a) −3 0 5 10 15 20 Tiempo (s) Figura 2. Figura ilustrativa con una simulación del movimiento de balanceo de la carga suspendida. 0.15 La Figura 2 muestra un ejemplo del perfil de balanceo de 0.1 la carga suspendida, cuya dinámica afecta a la dinámica del Posición Y (m) quadrotor en la forma de una incertidumbre añadida. La 0.05 referencia de posición se ha elegido como Xr = ramp(t), Yr = 0 sin(t), and Zr = sin(t) . La Figura 3 muestra las trayectorias tridimensionales de referencia y las obtenidas con el -0.05 controlador propuesto y el deslizante clásico. Las Figuras 4a, 4b y 4c muestran la posición y altura separadas por -0.1 componentes. Las Figuras 5 muestran los errores de seguimiento de la posición del centro de masas del quadrotor -0.15 en los tres ejes obtenidos por cada uno de los controladores, 0 5 10 15 20 en donde las Figuras 5(b) representan el zoom en el intervalo Tiempo (s) (b) de cero a dos segundos de las Figuras 5(a). En color rojo se 328 N. Ullah et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16 (2019) 321-331 casos del controlador propuesto y el control deslizante 1.5 clásico. De esta figura se puede concluir que el esquema de control fraccionario propuesto ofrece un rendimiento superior 1 al control deslizante clásico al presentar un tiempo de convergencia a la superficie deslizante menor y un menor Posición Z (m) 0.5 chattering. La Figura 8, finalmente, muestra una estimación 0 de los términos de incertidumbre (que corresponden al balanceo de la carga suspendida). El movimiento de balanceo -0.5 “real” es el que se obtiene de la simulación numérica de las ecuaciones (1)-(8), que describen el sistema acoplado -1 quadrotor-carga con los parámetros indicados en la Tabla 1. -1.5 0 5 10 15 20 (grados) Tiempo (s) SMC 2 AFSMC (c) Error 0 Figura 4(a), (b) y (c). Gráficas de seguimiento de la posición y altura. En 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 rojo se muestra el desempeño del control deslizante clásico mientras que en Tiempo (s) (grados) azul se muestra el resultado obtenido con el control fraccionario propuesto. 2 SMC En negro se encuentra la referencia, por debajo de las gráficas roja y azul. 1 AFSMC Error 0 −4 x 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 SMC Tiempo (s) Error X (m) (grados) 5 AFSMC 0.1 SMC AFSMC 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Error Tiempo (s) 0 −3 x 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2 SMC Tiempo (s) Error Y (m) AFSMC 1 (a) 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 −3 Tiempo (s) x 10 (grados) 1 SMC SMC Error Z (m) AFSMC AFSMC 2 0.5 Error 0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tiempo (s) Tiempo (s) (grados) 2 SMC (a) 1 AFSMC −4 x 10 Error SMC 0 Error X (m) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 5 AFSMC Tiempo (s) (grados) 0.1 0 SMC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 AFSMC Tiempo (s) 0.05 −3 x 10 Error 2 SMC Error Y (m) 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 AFSMC 1 Tiempo (s) 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 (b) x 10 −3 Tiempo (s) Figura 6(a) y (b). Errores de seguimiento en la orientación. 1 SMC Error Z (m) AFSMC 0.5 0 Posición X (m) SMC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 Tiempo (s) AFSMC 0 (b) −2 Figura 5(a) y (b). Errores de seguimiento de posición y altitud. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Tiempo (s) SMC Posición Y (m) 5 El desempeño obtenido en el seguimiento de la orientación AFSMC 0 por parte del quadrotor se muestra en la Figura 6, en donde las Figuras 6(b) representan el zoom en el intervalo de cero a −5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 dos segundos de las Figuras 6(a). De los resultados obtenidos Tiempo (s) SMC Posición Z (m) se concluye que el controlador diseñado permite el 10 AFSMC seguimiento preciso de las trayectorias y orientación de 0 referencia con unas prestaciones mejores que con un −10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 controlador deslizante clásico, para el que existen grandes Tiempo (s) errores en estado estacionario y oscilaciones no deseadas en el permanente. La Figura 7 muestra la señal de control en los (a) N. Ullah et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16 (2019) 321-331 329 10 SMC (grados) AFSMC 0 10 Real −10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Estimada Incertidumbre Z(m) Tiempo (s) 5 10 SMC (grados) AFSMC 0 0 −10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Tiempo (s) 1 SMC -5 (grados) AFSMC 0 −1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -10 Tiempo (s) 0 5 10 15 (b) Tiempo (s) Figura 7. Comparación del valor de la señal de control con el controlador (c) propuesto y el deslizante clásico (a) Control de posición y altura, (b) Control Figura 8. Estimación de la incertidumbre en cada eje con el estimador de orientación. fraccionario de la Sección 3. Por otro lado, la estimación de las incertidumbres está De esta forma se simula el sistema real y la estimación del calculada a través de los estimadores introducidos en la mismo por medio de los estimadores. El lazo de control adaptable propuesto permite lograr un lazo cerrado más Sección 3 y dados por las ecuaciones Dα F1 = −ζ 2 S x , insensible a la perturbación generada por el balanceo de la Dα F2 = −ζ 3S y y Dα F = −ζ 1S z . Así, la Figura 8(a) representa carga suspendida. Los resultados numéricos obtenidos en esta sección muestran, en definitiva, un comportamiento superior la estimación del término F1 , la Figura 8(b) la estimación de del esquema presentado en comparación con los esquema de F2 mientras que la 8(c) la de F . control deslizante tradicionales. 5. Conclusiones 10 En este artículo se propone un sistema de control Real deslizante adaptable de orden fraccionario para el 5 Estimada seguimiento de la posición, altitud y orientación de un Incertidumbre X (m) vehículo de cuatro rotores que lleva una carga suspendida desconocida. El sistema de control propuesto se compara con 0 el controlador deslizante clásico cuando el balanceo de la carga suspendida es desconocido y además cuando existe incertidumbre paramétrica en los parámetros del quadrotor. -5 De los resultados numéricos obtenidos se concluye que el controlador propuesto muestra un rendimiento superior sobre el sistema de control basado en un control deslizante -10 0 5 10 15 convencional. Tiempo (s) (a) Agradecimientos El trabajo de A. Ibeas está parcialmente financiado por el 2 Ministerio de Economía y Competitividad de España a través Real del proyecto DPI2016-77271-R y por la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea a través del proyecto Estimada 1 PPG17/33. Incertidumbre Y (m) 0 Referencias Aghababa, M.P., A Lyapunov-based control scheme for robust stabilization -1 of fractional chaotic systems, Nonlinear Dynamics, vol. 78, no. 3, pp. 2129-2140, 2014. Alothman, Y., Gu, D. B. 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Control deslizante clásico Mellinger D., Shomin M., Michael N., Kumar V, Cooperative Grasping and Transport Using Multiple Quadrotors, Distributed Autonomous Robotic Systems, Volume 83 of the series Springer Tracts in Advanced Robotics En este apéndice se introducen las ecuaciones utilizadas pp 545-558, 2013. para el diseño del controlador deslizante clásico usado como Muñoz –Vazquez AJ, Parra-Vega V., Sánchez.Orta A., Garcia O., Izaguirre- marco de comparación en el artículo. Espinoza C., Attitude tracking control of a quadrotor based on absolutely continuous fractional integral sliding modes, IEEE Conference on Control Applications (CCA), Juan Les Antibes, pp.717-722(2014), 2014. Derivación del controlador de orientación Outeiro, P., Cardeira, C., Oliveira, P., Adaptive/Multi-model height control system of a quadrotor constant unknown load transportation, 2018 IEEE International Conference on Autonomous robot systems and La superficie deslizante clásica para el control de competitions, pp. 65-70, 25-27 Abril, Torres Vedras, Portugal, 2018. Raffo, G. V., de Alameida, M.M., Nonlinear Robust Control of a Quadrotor orientación está dada por: UAV for Load transportation with Swing Improvement, American Control Conference 2016, pp. 3156-3162, Boston, MA, USA, 2016. Sφ = k1eφ + e!φ (33) Raffo, G. V., de Alameida, M.M., A load transportation nonlinear control strategy uning a Tilt-Rotor UAV, Journal of Advanced Transportation, Article ID 1467040, 2018. La ley de control se deduce a partir de la dinámica del Riccardi F., Lovera M., Robust attitude control for a variable-pitch quadrotor, IEEE Conference on Control Applications (CCA), Juan Les quadrotor siguiendo el mismo procedimiento descrito en las Antibes, pp. 730-735, 2014. secciones anteriores. El resultado es: N. Ullah et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 16 (2019) 321-331 331 ⎧ La ley de control virtual de altitud se obtiene a través de ⎪U = U − U los mismos pasos que anteriormente y el resultado es: ⎪ 2 2eq 2sw ⎪⎪ 1 U z = (k4 e!z − !! z d + kd 4 sgn(S z )) (38) ⎨U 2eq = (−k1e!φ − a1θ!ψ! + a2θ! Ω r + φ!!d ) (34) ⎪ b1 donde k4 es una constante de diseño en (37) mientras que ⎪ k ⎪U 2sw = d1 (sgn(Sφ )) kd 4 es la ganancia de conmutación del término discontinuo ⎪⎩ b1 en (38), ambas positivas. De modo semejante, las superficies deslizantes para el La derivación del control de los ángulos pitch y yaw sigue control de posición en las coordenadas X e Y se expresan los mismos pasos que en la secciones anteriores. Si elegimos como: las superficies deslizantes como Sθ = k2 eθ + e!θ y ⎧⎪ S x = k5ex + e!x Sψ = k3eψ + e!ψ , los controladores U 3 y U 4 se formulan ⎨ (39) ⎪⎩ S y = k6 ey + e!y como: donde k5 y k6 son constantes de diseño. Si utilizamos ahora la dinámica simplificada horizontal expresada en las ⎧ ⎪U = U − U ecuaciones (29) y (30), la ley de control de posición se puede ⎪ 3 3eq 3sw obtener como: ⎪⎪ 1 ⎨U 3eq = (−k2 e!θ − a3φ!ψ! + a4φ! Ω r + θ!!d ) (35) ⎧⎪U x = ( X!!d − k5e!x − kd 5 sgn(S x )) ⎪ b2 ⎪ ⎨ !! (40) k ⎪⎩U y = (−Yd + k6 e!y − kd 6 sgn(S y )) ⎪U 3sw = d 2 (sgn(Sθ )) ⎪⎩ b2 donde kd 5 y kd 6 , que son las ganancias de los términos ⎧ discontinuos de control, son elegidas de tal forma que se ⎪U = U − U garantice la estabilidad del lazo cerrado. Las referencias de ⎪ 4 4eq 4sw empuje, y ángulos roll y pitch se calculan como (Zuo et al., ⎪⎪ 1 2010): ⎨U 4eq = (−k3eψ − a5φ!θ! + ψ!! d ) (36) ⎪ b3 ⎧ ⎫ ⎪ U x cosψ c + U y sinψ c ⎪ ⎪ k ⎪ dθ = tan −1 ( ) ⎪ ⎪U 4sw = d 3 (sgn(Sψ )) Uz b3 ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎪ U sinψ − U cosψ ⎪⎪ ⎨φd = sin ( −1 x c y c ) ⎬ donde los parámetros k1 , k2 , k3 , kd1 , kd 2 , kd 3 representan Ux +U y +Uz 2 2 2 ⎪ ⎪ constantes (positivas) de diseño del control. ⎪ ⎪ ⎪ ⎡U x (sin θ cosψ cos φ + sinψ sin φ ) ⎤⎪ Control de altura y de posición ⎪T = mQ ⎢ +U (sin θ sinψ cos φ − cosψ sin φ ) + U cosθ cos φ ⎥ ⎪ La superficie deslizante clásica está dada por: ⎪⎩ ⎢⎣ y z ⎥⎦ ⎪⎭ S z = k4 ez + e!z (37) (41)