УДК 519.246.8 Фрактальный анализ динамики международных прибытий в туризме © 2019 Щелкунова Л. И., Емец М. С. УДК 519.246.8 Щелкунова Л. И., Емец М. С. Фрактальный анализ динамики международных прибытий в туризме Поставлена задача определения глобальных и локальных фрактальных характеристик временных рядов, характеризующих развитие между- народного туризма, с целью выявления особенностей динамики их эволюции, свойств самоподобия, трендоустойчивости, наличия «эффекта памяти». В результате исследования были выявлены свойства трендовости динамики международных прибытий в мире, Европе и на Ближнем Востоке. Также удалось выявить цикличность этих процессов и установить длину цикла для Европейского региона и для мира в целом. Кроме того, была установлена высокая зависимость развития туризма от геополитической ситуации в Ближневосточном регионе. Ключевые слова: международный туризм, фрактальность, персистентность, нормированный размах, показатель Хёрста, V-статистика. Рис.: 4. Табл.: 3. Библ.: 13. Щелкунова Любовь Ивановна – доцент, кафедра высшей математики, Харьковский национальный университет строительства и архитекту- ры (ул. Сумская, 40, Харьков, 61000, Украина) E-mail: lshelkunovavm@gmail.com Емец Мария Сергеевна – кандидат экономических наук, старший преподаватель, кафедра гостинично-ресторанного бизнеса, Одесская нацио- нальная академия пищевых технологий (ул. Канатная, 112, Одесса, 65039, Украина) E-mail: mshelkunchik@gmail.com УДК 519.246.8 UDC 519.246.8 Щєлкунова Л. І., Ємець М. С. Фрактальний аналіз динаміки міжна- Shchelkunova L. I., Yemets M. S. The Fractal Analysis of the Dynamics родних прибуттів у туризмі of International Arrivals in Tourism Поставлено завдання визначення глобальних і локальних фракталь- The article sets the task of determining the global and local fractal charac- них характеристик часових рядів, які характеризують розвиток між- teristics of the time series characterizing the development of international народного туризму, з метою виявлення особливостей динаміки їх tourism, in order to identify the peculiarities of the dynamics of their evolu- економіко-математичне моделювання еволюції, властивостей самоподібності, трендостійкості, наявності tion, properties of self-similarity, trend-tolerance, presence of «memory ef- «ефекту пам’яті». У результаті дослідження були виявлені власти- fect». As a result of research the properties of trends of international arrivals вості трендовості динаміки міжнародних прибуттів у світі, Європі і in the world, Europe and the Middle East are identified. It was also possible на Близькому Сході. Також вдалось виявити циклічність цих процесів і to identify the cyclicity of these processes and define the length of the cycle встановити довжину циклу для Європейського регіону і світу в цілому. for the European region and for the world as a whole. In addition, a high de- Крім того, було встановлено високу залежність розвитку туризму від pendence of tourism development on the geopolitical situation in the Middle геополітичної ситуації у Близькосхідному регіоні. East region is determined. Ключові слова: міжнародний туризм, фрактальність, персистент- Keywords: international tourism, fractality, persistence, normalized scale, ність, нормований розмах, показник Хьорста, V-статистика. Hirst indicator, V-statistics. Рис.: 4. Табл.: 3. Бібл.: 13. Fig.: 4. Tbl.: 3. Bibl.: 13. Щєлкунова Любов Іванівна – доцент, кафедра вищої математики, Shchelkunova Liubov I. – Associate Professor, Department of Higher Math- Харківський національний університет будівництва та архітектури ematics, Kharkiv National University of Construction Engineering and Archi- (вул. Сумська, 40, Харків, 61000, Україна) tecture (40 Sumska Str., Kharkіv, 61000, Ukraine) E-mail: lshelkunovavm@gmail.com E-mail: lshelkunovavm@gmail.com Ємець Марія Сергіївна – кандидат економічних наук, старший викла- Yemets Mariia S. – Candidate of Sciences (Economics), Senior Lecturer, De- дач, кафедра готельно-ресторанного бізнесу, Одеська національна ака- partment of Hotel and Restaurant Business, Odesa National Academy of демія харчових технологій (вул. Канатна, 112, Одеса, 65039, Україна) Food Technology (112 Kanatna Str., Odesa, 65039, Ukraine) E-mail: mshelkunchik@gmail.com E-mail: mshelkunchik@gmail.com К анализу динамики временных рядов, которые относительно исследуемых характеристик. К построе- характеризуют функционирование рынка тури- нию эконометрической модели приступают, если ответ ЕКОНОМІКА стических услуг, довольно часто подходят с по- на такое тестирование является положительным. В про- мощью инструментария эконометрических методов. тивном случае ставится задача обнаружения моментов Такой подход позволяет оценивать поведение исследуе- изменения исследуемых вероятностных характеристик мого признака (объекта) в целом на определенном про- и представления исходной выборки в виде объедине- межутке времени. ния однородных частей. Существуют разные подходы По мнению авторов, недостатком такого подхода к решению этой задачи, одним из направлений которых является отсутствие предварительного анализа времен- является фрактальный и энтропийный анализ. Фрак- ных рядов на стохастичность (хаотичность) и особых тальный анализ позволяет учитывать свойства системы состояний исследуемой системы. Этапом, предшеству- не только в данный момент, но и в прошлом с целью ющим построению эконометрической модели, должна дальнейшего прогнозирования ее поведения, в том чис- стать проверка выборочных данных на однородность ле и возможных нестабильных состояний. 178 БІЗНЕСІНФОРМ № 1 ’2019 www.business-inform.net Целью данной работы является определение гло- подходы к определению данных характеристик приво- бальных и локальных фрактальных характеристик вре- дят к оценкам разной точности. Одним из направлений менных рядов, характеризующих развитие международ- повышения достоверности результата является множе- ного туризма, с целью выявления особенностей динами- ственный подход к получению оценок с дальнейшим их ки их эволюции, свойств самоподобия, трендоустойчи- усреднением [12]. вости, наличия «эффекта памяти» и его уровня. Такой В данной работе для выявления уровня стоха- подход позволяет обнаружить моменты отклонений в стичности временных рядов международных прибытий тенденции развития международного туризма в регио- (определения, является ли ряд случайным или перси- нах с целью дальнейшего прогнозирования и внесения стентным, т. е. обладающим долговременной памятью) необходимых изменений в стратегию их развития [11]. выполнено вычисление показателя Хёрста. Процесс Объектом исследования являются временные вычисления базируется на применении так называемо- ряды, характеризующие туристическую деятельность го метода нормированного размаха или метода Хёрста и связанные с ней экономические показатели в регионе. (R/S-метод) [1]. В книге Е. Федера «Фракталы» R/S- методу посвящены 8 и 11 главы. Содержание R/S-метода Э кономико-математическое моделирование в об- связано с анализом размаха случайной величины и ее ласти международного туризма применялось среднеквадратического отклонения. в работах таких ученых, как Гамильтон Ж., Фер- Фрактальную размерность D (характеристику гуссон Л., Брейк М., Маас Ф., Голднер С., Баясгалан Ц., сложности процесса) можно определить с помощью по- Бегеулова М., Демин А., Загорулькин А., Кабаян Н., Се- казателя Хёрста из соотношения менова Ю., Тихонова А., Хазова Д., Чуракова Е., Шебзу- D = 2 – H. хова М. и др. По уровню величины Н можно выявить наличие В большинстве работ основными объектами мо- или отсутствие эффекта памяти временного ряда. Су- делирования являются объемы туристических пото- ществует следующий подход к интерпретации различ- ков, доходы от туризма, показатели, которые связаны ных значений показателя Хёрста. с сезонностью. Среди них выделяют показатель коли- Значение Н = 0,5 соответствует стохастическому чества прибывающих в регион туристов, поскольку он временному ряду. Такой процесс называют «белым шу- економіко-математичне моделювання является макроэкономическим показателем, на основе мом» (отсутствие «эффекта памяти» и определенных которого строятся следующие оценки. Однако практи- трендовых свойств). чески отсутствуют исследования, направленные на про- При значениях Н < 0,5 процесс, описываемый дан- гнозирование с использованием фрактального анализа ным временным рядом, антиперсистентный (неустойчи- в туризме. вый, со стремлением к возврату к среднему). Чем ближе В настоящее время появилось много исследова- Н к нулю, тем неустойчивее процесс (за подъемом идет ний, результаты которых указывают на то, что многие спад и наоборот). стохастические процессы не только в природе и техни- При Н > 0,5 временной ряд является персистент- ке, но и в социальных процессах обладают долгосрочной ным (трендоустойчивым, обладающим долговременной зависимостью и фрактальной структурой [13]. Наибо- памятью). Чем Н ближе к 1, тем сильнее тренд (за подъе- лее адекватным математическим аппаратом для иссле- мом – подъем, за спадом – спад). В частности, Хёрст эм- дования динамики и структуры таких рядов является пирически показал, что для природных явлений Н ≈ 0,72. фрактальный анализ, особое значение которого состо- С помощью величины показателя Хёрста можно ит в том, что он учитывает поведение системы не тольк определить, будет ли следующее значение исследуемого в период измерений, но и его предысторию [9; 10]. ряда больше или меньше текущего. Например, будет ли Авторы отмечают отсутствие комплексных иссле- следующее значение хп+1 больше / меньше предыдуще- дований, направленных на прогнозирование с исполь- го хп, если текущее хп – меньше хп-1? В этом случае для зованием фрактального анализа в туризме. антиперсистентного ряда (Н < 0,5) следующее хп+1 будет В работе для анализа самоподобия временных больше текущего. В случае персистентного ряда (Н> 0,5) рядов и измерения уровня сложности описываемого следующее значение будет меньше текущего (тренд). ими процесса используют методы фрактального ана- Для случайного ряда (Н = 0,5) следующее значение не- лиза. Под фракталом понимают систему, состоящую предсказуемо [10]. из частей, которые в геометрическом смысле подобны В ЕКОНОМІКА целому [1]. Такие объекты имеют, как правило, дроб- данной работе для исследования взяты два ма- ную фрактальную размерность, которая служит мерой крорегиона (по классификатору Всемирной ту- сложности системы (процесса), «изломанности», «по- ристической организации UNWTO): Европа ристости» геометрической фигуры и позволяет количе- и Ближний Восток. На протяжении всего рассматривае- ственно характеризовать направление и темп процессов мого периода Европа является лидером международно- самоорганизации (распада) в среде и корреляционные го туризма в мире. Однако ее доля в международных ту- связи между его элементами [2]. ристических потоках постоянно уменьшается. Ближний Среди показателей фрактального анализа выделя- Восток, отличающийся политической нестабильностью ют показатель Хёрста Н, фрактальную размерность D, стран региона, в 1980 году имел всего 2 % доли междуна- индекс фрактальности µ. Следует отметить, что разные родных прибытий в мире. В начале ХХI века ближнево- БІЗНЕСІНФОРМ № 1 ’2019 179 www.business-inform.net сточные страны представляют собой один из наиболее дистантными, за исключением небольшого интервала динамично развивающихся туристических регионов времени, на котором временной шаг не фиксирован, что мира. В 2017 году доля Ближнего Востока в междуна- связано с ограниченностью статистических данных. По родном туризме выросла до 4,4 %, хотя процесс роста не этой причине в данной работе использованы не очень являлся устойчивым (рис. 1) [3; 4]. «длинные» временные ряды, что позволяет рассматри- Рассматриваемые временные ряды международ- вать полученные в данном исследовании результаты как ных прибытий в мире и макрорегионах являются экви- предварительные, в качестве первого приближения. Международные прибытия, млн 1400 1 1200 1000 800 2 600 400 200 3 0 1970 1980 1990 2000 2010 2020 Год Мир Европа Ближний Восток Рис. 1. Динамика международных прибытий за период 1978–2017 гг. [3–8] К ак видно из рис. 1, во всех трех случаях долго- монстрируют нормальный закон распределения и ха- економіко-математичне моделювання временная тенденция повышения числа между- рактеризуются высокими пиками (рис. 2). народных прибытий сопровождается многочис- В рамках данной работы были проанализированы ленными колебаниями. Это означает, что невозможно показатели международных прибытий в мире, Европе на основании визуального анализа сделать вывод о на- и на Ближнем Востоке за период 1978–2017 гг. Для по- личии или отсутствии тренда. Известно, что появление лучения оценок показателя Хёрста по данным регионам фрактального анализа связано с установлением отдель- все значения соответствующих временных рядов разби- ных случаев ошибочного представления о поведении ты на группы по 4-5-8-10-20-40 значений. некоторых объектов и процессов. В большинстве случа- В табл. 1 приведены значения нормированного ев по умолчанию опираются на действие центральной размаха для разных периодов по макрорегионам и миру предельной теоремы, согласно которой к нормальному в целом. распределению приближается сумма большого числа Из рис. 3 следует, что величина показателей Хёр- независимых, одинаково распределенных случайных ста динамики международных прибытий в мире, Европе величин [2]. В некоторых случаях условия теоремы мо- и на Ближнем Востоке за период 1978–2017 гг. состави- гут нарушаться, а значит, не наблюдаться нормальный ла соответственно Н = 0,9535, Н = 0,956 и Н = 0,992. закон. Например, может появляться эффект «тяжелых Поскольку величина показателя Хёрста Н > 0,5 во хвостов» и высоких пиков. Несмотря на наличие явного всех трех случаях, то исследуемые ряды можно считать линейного тренда (рис. 1), гистограммы распределений персистентными. Это означает, что можно утверждать международных прибытий по регионам и миру не де- о наличии долговременной памяти («эффекта памя- Histogram Histogram Histogram Мир Европа Ближний Восток Frequency Frequency Frequency ЕКОНОМІКА 15 10 60 8 10 6 40 4 5 20 2 0 0 0 455,4166... 628,7333... 802,05 975,3666... 1148,683... More 282,1 260,1833... 424,55 342,3666... 506,7333... 588,9166... More 178 222,08... 442,06... 662,05 882,03... 1102,0... More Bin Bin Bin 2,1 Рис. 2. Гистограммы распределений международных прибытий 180 БІЗНЕСІНФОРМ № 1 ’2019 www.business-inform.net Таблица 1 ти») и трендовости процесса динамики международных Значения нормированного размаха R/S прибытий в мире, Европе и на Ближнем Востоке за ис- следуемый промежуток времени. А это дает основания R/S провести исследование на существование точек срыва n Ближний тренда и оценки продолжительности возможных ци- Мир Европа Восток клов. 4 1,78 1,79 1,76 Такой анализ проведен с использованием V- ста- 5 2,05 2,09 2,08 тистики (табл. 2). Анализ данных табл. 2 показывает, что показатель 8 3,49 3,3 3,32 Vп по каждому макрорегиону и странам мира в целом 10 4,64 4,31 4,11 постоянно растет. Такая динамика изменений показате- 20 8,71 8,46 7,98 ля Vп указывает на отсутствие явных моментов срыва 40 17,68 16,92 20,07 тренда (точек отсчета падающей фазы). Однако следу- ет заметить, что относительная величина возрастания Источник: авторская разработка. показателя Vп не является устойчивой. Наибольшие R/S анализ R/S анализ R/S анализ международных международных международных прибытий в мире прибытий в Европе прибытий на Ближнем Востоке 18 18 y = 0,5024x0,9535 y = 0,4777x 0,9562 25 16 16 0,9928 R2 = 0,9992 R2 = 0,9974 y = 0,4453x 14 14 R2 = 0,9911 20 12 12 10 10 15 8 8 економіко-математичне моделювання 6 6 10 4 4 5 2 2 0 0 0 0 20 40 0 20 40 60 0 20 40 60 Длина ряда N Длина ряда N Длина ряда N Рис. 3. Показатель Хёрста динамики международных прибытий за период 1978–2017 гг. Таблица 2 Значения V-статистики для динамики прибытий Vп Vn(пред) / Vn(посл) п Ближний Ближний Мир Европа Мир Европа Восток Восток 2 0,707 0,707 0,7071 4 0,8899 0,895 0,88 1,259 1,2657 1,2445 5 0,9145 0,93468 0,9302 1,028 1,0443 1,0571 8 1,2338 1,1667 1,1738 1,349 1,2483 1,2618 10 1,4668 1,3629 1,2997 1,189 1,1682 1,1073 ЕКОНОМІКА 20 1,9469 1,8917 1,7844 1,327 1,3879 1,3729 40 2,796 2,6753 3,1733 1,436 1,4144 1,7784 Источник: авторская разработка. отклонения наблюдаются для показателя Vп Ближнево- через три взятых для рассмотрения периода. Если счи- сточного региона. тать первый период продолжением предыдущего цикла, Из табл. 3 видно, что значения показателя Vп (при то первое падение показателя Vп наблюдается с четвер- п = 4) для социума в целом постоянно меняются. При- того периода (1990–1993 гг.) после двух периодов роста. чем по рис. 3 можно заметить цикличность этого изме- Далее повторяется такое же поведение – два периода нения. Так, для рядов международных прибытий в мире роста и период падения. Следующий этап опять повто- моменты таких изменений повторяются практически ряет рост на протяжении двух периодов. Ограничен- БІЗНЕСІНФОРМ № 1 ’2019 181 www.business-inform.net ность данных не позволяет продолжить анализ. Длина социума в целом, то для стран Ближнего Востока та- возрастающей фазы составила 2 взятых периода (8 лет), кую явную закономерность на рассматриваемом про- а длина падающей фазы один период (4 года). Таким об- межутке времени выявить оказалось затруднительно. разом, общая длина цикла составила 3 периода (12 лет). Такой результат можно объяснить высокой зависи- мостью региона от геополитической ситуации в мире. П роведенный анализ подтверждается данными С одной стороны, Ближний Восток известен как «ко- изменений показателя Vп при п = 10, т. е. за пе- лыбель цивилизации» и обладает высокой туристиче- риод практически охватывающий длину цикла ской привлекательностью. С другой стороны, после (табл. 3). Динамика значений этой характеристики для бурного подъема туристической активности начала данных периодов не изменяется. XXI века в ряде стран региона с 2011 года произошли Показатель длины цикла, полученный ранее, массовые протесты, перевороты, и начались продол- указывает на минимально необходимый объем наблю- жающиеся по сей день гражданские войны. дений, необходимых для получения значимых прогно- Результаты фрактального анализа временных ря- зов изменений показателей международных прибытий дов международных прибытий позволяют сделать сле- в мире. дующие выводы: Из рис. 4 также видно, что для стран Европы 1. Гистограммы международных прибытий в мире, кривая динамики V-статистики является более сгла- Европе и на Ближнем Востоке за период 1978– женной по сравнению с кривой для мира в целом. 2017 гг. демонстрируют эффект «тяжелых хво- Самой «искривленной» является кривая динамики стов» и высоких пиков, что исключает нор- V-статистики для Ближневосточного региона. При- мальный закон распределения. Такой характер чем, если для стран Европы цикличность изменений динамики требует качественного исследования практически совпадает с цикличностью кривой для этих процессов путем анализа большого коли- Таблица 3 Значения V-статистики прибытий для разных периодов економіко-математичне моделювання Vп Vп Vп п=4 Евро- Ближний п=5 Ближний п = 10 Ближний Мир Мир Европа Мир Европа па Восток Восток Восток 1978/81 0,90 0,97 0,902 1982/85 0,83 0,85 0,837 1986/89 0,91 0,88 0,915 1978/82 0,85 1,07 1,095 1990/93 0,97 0,85 0,976 1983/87 0,93 0,97 1,046 1994/97 0,86 0,92 0,86 1988/92 0,86 0,89 0,642 1998/01 0,96 0,87 0,962 1993/97 0,79 0,87 1,032 2002/05 0,93 0,89 0,938 1998/02 1,04 0,85 1,061 1978/87 1,30 1,33 1,108 2006/09 0,76 0,97 0,765 2003/07 0,93 1,01 0,881 1988/97 1,38 1,43 1,395 2010/13 0,88 0,91 0,889 2008/12 0,97 0,91 0,771 1998/07 1,52 1,31 1,391 2014/17 0,85 0,78 0,853 2013/17 0,93 0,89 0,831 2008/17 1,66 1,38 1,175 Источник: авторская разработка. Показатель 1,2 1,0 ЕКОНОМІКА 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1978/81 1982/85 1986/89 1990/93 1994/97 1998/01 2002/05 2006/09 2010/13 2014/17 Период Мир Европа Ближний Восток Рис. 4. Динамика V-статистики международных прибытий по регионам 182 БІЗНЕСІНФОРМ № 1 ’2019 www.business-inform.net чества факторов, влияющих на развитие меж- туризма (на примере стран Центральной и Восточной Европы). дународного туризма, в том числе с помощью Бізнес Інформ. 2017. № 4. С. 107–112. фрактального анализа. 13. Щелкунова Л. И. Дифференциальная геометрия 2. Процесс динамики международных прибытий в и фрактальный анализ в архитектурном проектировании. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/differentsialnaya-geometriya-i- мире, Европе и на Ближнем Востоке обладает fraktalnyy-analiz-v-arhitekturnom-proektirovanii свойством трендовости, т. е. наличием «эффекта памяти» на исследуемом промежутке времени. REFERENCES 3. Для стран Европы и мира в целом выявлена цикличность динамики международных при- Central Intelligence Agency (CIA). https://www.cia.gov/in- бытий, и установлена длина цикла, которая со- dex.html ставила 12 лет. Chumak, O. V. Entropii i fraktaly v analize dannykh [Entropies 4. Для Ближневосточного региона установлена and fractals in data analysis]. Moscow; Izhevsk: NITs «Regulyarna- высокая зависимость развития туризма от ya i khaoticheskaya dinamika»; In-t kompyuternykh issledovaniy, 2011. геополитической ситуации. На рассматривае- Feder, Ye. Fraktaly [Fractals]. Moscow: Mir, 1991. мом промежутке времени оценку продолжи- International Monetary Fund. www.imf.org тельности возможных циклов установить не “Otchet Vsemirnoy turiststkoy organizatsii. Osnovnyye poka- удалось.  zateli razvitiya turizma, izdaniye 2005 (Tourism Highlights, edition 2005)“ [Report of the World Tourism Organization. Key indicators of tourism development, 2005 edition (Tourism Highlights, edition ЛІТЕРАТУРА 2005)]. http://tourlib.net/wto/WTO_highlights_2005.pdf Peters, E. Fraktalnyy analiz finansovykh rynkov. Primeneniye 1. Федер Е. Фракталы. М. : Мир, 1991. 274 с. teorii Khaosa v investitsiyakh i ekonomike [Fractal analysis of finan- 2. Чумак О. В. Энтропии и фракталы в анализе данных. cial markets. Application of Chaos Theory in Investment and Eco- М. – Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т nomics]. Moscow: Internet-treyding, 2004. компьютерных исследований, 2011. 164 с. Shchelkunova, L. I. “Differentsialnaya geometriya i fraktalnyy 3. Отчёт Всемирной туристсткой организации. Основные analiz v arkhitekturnom proektirovanii“ [Differential geometry and показатели развития туризма, издание 2005 (Tourism Highlights, fractal analysis in architectural design]. https://cyberleninka.ru/ економіко-математичне моделювання edition 2005). URL: http://tourlib.net/wto/WTO_highlights_2005. article/n/differentsialnaya-geometriya-i-fraktalnyy-analiz-v-arhi- pdf tekturnom-proektirovanii 4. «Туристический барометр» (UNWTO World Tourism Starchenko, N. V. “Indeks fraktalnosti i lokalnyy analiz khaot- Barometer). URL: https://www.e-unwto.org/doi/abs/10.18111/wto icheskikh vremennykh ryadov“ [Fractality index and local analysis barometerrus.2018.16.4.1?journalCode=wtobarometerrus of chaotic time series]. http://www.mirkin.ru/_docs/kon_diser/dis- 5. Worldbank. URL: http://datatopics.worldbank.org/debt/ erstarchenko.pdf ids/ “«Turisticheskiy barometr» (UNWTO World Tourism Barom- 6. Central Intelligence Agency (CIA). URL: https://www.cia. eter)“ [“Tourist Barometer” (UNWTO World Tourism Barometer)]. gov/index.html https://www.e-unwto.org/doi/abs/10.18111/wtobarometerrus.20 7. International Monetary Fund. URL: www.imf.org 18.16.4.1?journalCode=wtobarometerrus 8. UNWTO. URL: http://unwto.org UNWTO. http://unwto.org 9. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Worldbank. http://datatopics.worldbank.org/debt/ids/ Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике. М. : Yemets, M. S. “Metodolohichni osnovy ekonomiko- Интернет-трейдинг, 2004. 304 с. matematychnykh doslidzhen v turyzmi“ [Methodological basis 10. Старченко Н. В. Индекс фрактальности и локальный of economic-mathematical research in tourism]. Naukovyi visnyk анализ хаотических временных рядов. URL: http://www.mirkin. Odeskoho natsionalnoho ekonomichnoho universytetu. Ekonomichni ru/_docs/kon_diser/diserstarchenko.pdf nauky, no. 27 (179) (2012): 195-203. 11. Ємець М. С. Методологічні основи економіко-матема­ Yemets, M. S., and Shchelkunova, M. S. “Modelirovaniye тичних досліджень в туризмі. «Науковий вісник» Одеського наці- vliyaniya integratsionnykh protsessov na razvitiye mezhdunarod- онального економічного університету. Економічні науки. 2012. nogo turizma (na primere stran Tsentralnoy i Vostochnoy Yevropy)“ № 27 (179). С. 195–203. [Modeling the influence of integration processes on the develop- 12. Емец М. С., Щелкунова М. С. Моделирование влия- ment of international tourism (on the example of Central and East- ния интеграционных процессов на развитие международного ern Europe)]. Biznes Inform, no. 4 (2017): 107-112. ЕКОНОМІКА БІЗНЕСІНФОРМ № 1 ’2019 183 www.business-inform.net