This is a preprint of: “Conjectures”, Armengol Gasull, Butl. Soc. Catalana Mat., vol. 36(1), 69–113, 2021. DOI: [10.2436/20.2002.01.98] CONJECTURES ARMENGOL GASULL Resum. L'objectiu d'aquest treball es donar a conèixer diverses conjectures ma- temàtiques que el que tenen en comú és que les qüestions de les que s'ocupen es poden entendre sense ser un matemàtic professional. Les agruparem en tres grans blocs: les que parlen de nombres primers, les que involucren nombres naturals i un tercer bloc més heterogeni on es tracten problemes de diverses branques de les matemàtiques. En total parlarem, amb més o menys profunditat, de més de 40 conjectures. També es planteja la possibilitat d'usar les conjectures com una eina de motivació pels estudiants de batxillerat i primers anys d'universitat, presentant les matemàtiques com una disciplina viva i en creixement. En aquest treball donarem a conèixer diverses conjectures matemàtiques, que el que tenen en comú és que el que armen es pot entendre sense ser un matemàtic 1 professional . En particular, només considerarem conjectures tals que el seu enunciat sigui curt i autocontingut. Cadascuna d'elles es pot llegir de manera independent. El nostre objectiu, a part d'ampliar els coneixements i entretenir als lectors, és mostrar les matemàtiques no com una ciència tancada en la que tot es coneix, ans tot el contrari, com una disciplina viva i en creixement. Com veurem, tot i que les conjectures que es detallen toquen diferents parts de les matemàtiques, la major part d'elles són de caire teòric o lúdic i deixen de banda una de las raons de ser de les matemàtiques, la modelització i comprensió del món. Això sí, els mateixos matemàtics que han proposat o estudiat aquestes conjectures són els que han fet avançar la matemàtica en totes les seves vessants. Figura 1. Darrer Teorema de Fermat. Però, què és una conjectura matemàtica? Una possible denició seria que és un resultat consistent amb tot el que es coneix, però no s'ha pogut vericar si és cert o fals. Però potser podem entendre millor el que és llegint un tros de la correspondència que el 1742 van tenir el matemàtic i cientíc suïs Leonhard Euler i el matemàtic alemany Christian Goldbach, sobre el que avui en dia es coneix com conjectura de Goldbach. Euler li deia: Que . . . tot nombre enter parell és una suma de dos primers, jo ho veig com un teorema completament cert, però no ho puc provar. 1Una altra qüestió ben diferent és el nivell i profunditat matemàtiques necessaris per saber si són certes o falses! 1 2 ARMENGOL GASULL Així, una conjectura és un resultat que molts matemàtics pensen que hauria de ser un teorema, però que cap d'ells ha pogut provar. A més, aquest candidat a teorema ha resistit tots els esforços per buscar-li un contraexemple. I si la conjectura admet ser estudiada amb l'ajut de programes, s'ha pogut vericar ns a on poden arribar els ordinadors més potents disponibles ns al moment. Finalment, és possible que existeixin idees heurístiques, probabilístiques o intuïtives que també fan pensar que és certa. . Hi ha conjectures degudes a matemàtics il lustres que han resultat certes i altres falses. Un dels exemples més famosos de conjectura certa és la que es va popularitzar com a darrer Teorema de Fermat, quan encara no era un teorema. Aquest va ser enunciat pel matemàtic i advocat francès Pierre de Fermat el 1637, i armava que l'equació xn + y n = z n , per a 2 < n ∈ N, no tenia solucions (x, y, z) ∈ N3 . La demos- tració d'aquest resultat va haver d'esperar ns el 1995, i és deguda al matemàtic anglès Andrew Wiles. Una altra conjectura ben famosa, però molt més tècnica sobre una caracterització topològica de les esferes 3-dimensionals, i que ja és també un teorema, és la conjectura de Poincaré demostrada el 2003 pel matemàtic rus Grigori Y. Perelman. Euler el 1769, en un intent d'estendre el darrer Teorema de Fermat, va proposar . la següent conjectura que ens servirà per a il lustrar el cas contrari: Si per a certs n > 1, k > 1 enters hi ha (x1 , x2 , . . . , xn , y) ∈ Nn+1 tal que xk1 + xk2 + ⋯ + xkn = y k , aleshores n ≥ k. Un exemple conegut ja a l'antiga Grècia i coherent amb la conjectura és 33 + 43 + 53 = 63 . El primer contraexemple d'aquesta conjectura, per a k = 5, va ser trobat usant un programa d'ordinador per Lander i Parkin el 1966, 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 , i està publicat en el que potser és l'article més curt de matemàtiques ([71]): 5 línies de text i una referència. El 1986, Elkies va trobar, també via programació, el primer contraexemple per a k = 4. El més senzill que es coneix és de l'any 1988 i és degut a Frye, 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 . Per k=3 la conjectura és certa, ja que com acabem de comentar, el darrer Teorema de Fermat és, avui en dia, un teorema. Aquest treball no intenta de cap manera llistar totes les conjectures matemàti- ques existents, ni tan sols presentar les més importants. El criteri que s'ha intentat seguir en la selecció feta és que els seus enunciats estiguin a l'abast d'estudiants de batxillerat o primers anys de carreres cientíques i també de persones amb un interès ampli per les matemàtiques. Sense ànims de ser exhaustius, però per comple- tesa, donarem els noms d'algunes conjectures famoses que no descriurem aquí i que necessiten més coneixements matemàtics per entendre els seus enunciats: la con- jectura ABC (també coneguda com conjectura d'OesterléMasser) o la conjectura de Birch and Swinnerton-Dyer (teoria de nombres), la conjectura de Carathéodory (geometria diferencial), la conjectura de Hadamard (combinatòria), les conjectures de Kaplansky (àlgebra), el closing Lema de Pugh (sistemes dinàmics), la nitud de les conguracions centrals (mecànica celeste), . . . En moltes de les conjectures que presentem es donen referències més detallades i, en particular, moltes de les relacionades amb teoria de nombres apareixen al CONJECTURES 3 llibre de R. K. Guy Unsolved Problems in Number Theory ([53]) o [6, 82]. També s'han consultat els treballs [57, 58, 59, 60]. A part d'aquestes referències s'han usat de manera sistemàtica diverses planes web. Així a la Wikipedia en anglès s'han consultat les planes amb títols: List of unsolved problems in mathematics, List of conjectures, i Conjectures, amb els seus enllaços corresponents. També hi ha molta informació a les planes del MathWorld-A Wolfram Web Resource i a la del CNRS-Images des maths dins de la secció Les conjectures du trimestre. Les conjectures de que parlarem s'han dividit en tres grups. Cada grup es presenta en una secció diferent. Així a la Secció 1 incloem les que estan fortament relacionades amb els nombres primers i la seva estructura. Així ens ocuparem de les conjectures sobre els pri- mers bessons, de Legendre, imposant expressions concretes pels nombres primers, de Goldbach, de Lemoine, d'Oppermann, de Brocard, d'Andrica, de Firoozbakht, de Cramér, de Gilbreath, segona de HardyLittlewood, dels primers de Germain, i de Grimm. La Secció 2 està dedicada a conjectures que involucren nombres naturals. Con- siderem les conjectures sobre els nombres perfectes, d'ErdösStrauss, de Brocard RamanujanErdös, de Goormaghtigh, de Carmichael, de Singmaster, de Beal, sobre la màxima persistència multiplicativa, la de no palindromia, i de Selfridge. Finalment, a la Secció 3 hi ha un popurri de conjectures sobre temes diferents. Parlem de la conjectura de Lagarias equivalent a la hipòtesi de Riemann, i les conjec- tures 3x+1, Jacobiana, de Casas-Alvero, sobre la normalitat de π, sobre la irraciona- litat de γ, sobre la seqüència de Kolakoski, de Frankl, de Toeplitz, d'ErdösSzekeres, del billars triangulars, del sofà, i de LeviHadwiger. De manera tangencial també parlarem al text de les conjectures de Polignac, de les cadenes de Cunningham, de Dickson, de Sierpinski i de Kakeya. És clar que els gustos i coneixements de l'autor també han inuït en la tria feta. A l'última secció incloem algunes reexions sobre la utilitat tant didàctica, com cientíca, com pràctica d'estudiar conjectures matemàtiques. Com veurem, en par- ticular moltes de les conjectures que es presenten ens proporcionen idees interessants i engrescadores per introduir als nostres alumnes en el món de la investigació i en el de la programació. En aquesta direcció podeu llegir el blog de Ben Braun del maig de 2005: Famous Unsolved Math Problems as Homework, penjat als blogs de l'AMS dins de la secció On Teaching and Learning Mathematics. També apro- tarem aquesta secció per a presentar alguns exemples famosos de propietats que són certes per a molts casos particulars i podrien fer pensar que donen lloc a una conjectura, o millor encara a un teorema, però que acaben essent falses. Acabarem aquesta introducció amb un aspecte del que de vegades s'oblida parlar quan un s'enfronta a una conjectura. Hi ha la possibilitat que una conjectura no . sigui ni certa ni falsa. Per il lustrar aquesta darrera armació posarem un parell d'exemples. El més famós és el relacionat amb l'anomenada hipòtesi del continu. Anem a explicar-la breument. Si hi ha dos conjunts entre els que podem denir una aplicació bijectiva es diu que tenen la mateixa cardinalitat. Així, els conjunts N, Z, o Q tenen cardinalitat numerable, o també anomenada ℵ0 , que es llegeix com alef sub zero. Per altra banda els conjunts (0, 1), [0, 1], R, C, R2 , R3 tenen la mateixa cardinalitat que el conjunt de tots els subconjunts de N, i aquesta es denota com 2ℵ0 . Així, sorgeix una pregunta molt natural: Hi ha algun conjunt amb una cardinalitat intermèdia entre ℵ0 i 2ℵ0 ? 4 ARMENGOL GASULL De fet, aquesta pregunta va ser el primer problema d'una llista de 23 que va posar el matemàtic alemany David Hilbert a la comunitat matemàtica, l'any 1900 a París en el Congrés Mundial de Matemàtiques. La no existència de conjunts amb cardinalitat entre ℵ0 i 2ℵ0 és precisament el que s'anomena hipòtesi del continu. L'any 1939 el matemàtic, lòsof i especialista en lògica, austríac-americà, Kurt Gödel va demostrar que la hipòtesi del continu és compatible amb tots els altres axiomes de la teoria de conjunts. Per tant, mai es podrà demostrar la seva falsedat. L'any 1963 el matemàtic nord-americà Paul Cohen va demostrar la indecidibilitat de la hipòtesi del continu. Això vol dir que tant suposar que la hipòtesi del continu és certa, com suposar que és falsa, no porta a cap contradicció amb els esmentats axiomes. En altres paraules, tant si haguéssim conjecturat l'existència d'aquest conjunt, com si haguéssim conjecturat la seva no existència, mai ho hauríem pogut demostrar. Es curiós observar que abans de que es demostrés el darrer Teorema de Fermat, ns i tot s'especulava que pogués ser un resultat indecidible, consulteu l'interessant treball de John H. Conway ([28]). De fet, en el seu treball Conway demostra l'exis- tència de enunciats similars al presentat a la conjectura 3x + 1, de la que parlarem més endavant, que són indecidibles. 1. Conjectures sobre nombres primers Euclides ja va demostrar que hi ha innits primers i, de fet, entre els dos llibres [81, 92] hi ha una dotzena de proves diferents d'aquest fet. A més, se saben moltes propietats sobre la seva distribució. Per exemple, a l'any 1896, el matemàtic francès Jacques Hadamard i el matemàtic belga Charles-Jean de la Vallée-Poussin van pro- var, usant idees del matemàtic alemany Georg Friedrich B. Riemann, que si π(n) denota el número de nombres primers menors o iguals que n, = 1. π(n) ln(n) lim n→∞ n Per una banda, hi ha propietats interessants d'ells que són fàcils de demostrar. Per exemple, que per a tot m∈N hi ha com a mínim m números consecutius de manera que cap d'ells és primer, o que per a tot primer p ≥ 5, el residu de p2 entre 24 és sempre 1. Per a demostrar la primera propietat podem prendre (m + 1)! + k, per a k = 2, 3, . . . , m + 1, i clarament, cada (m + 1)! + k no és primer ja que és divisible per k. La prova de la segona és equivalent a veure que p2 = 24` + 1, per a un cert ` ∈ N, o en altres paraules, a veure que (p + 1)(p − 1) és divisible per 24. Considerem els 3 números consecutius: p − 1 < p < p + 1. Clarament p − 1 i p + 1 són ambdós parells, i encara més, un d'ells ha de ser múltiple de 4. De manera similar, donats tres números consecutius, 3 ha de dividir a un d'ells. Com que p és primer, en el nostre cas ha de dividir o bé a p − 1 o a p + 1. En resum (p − 1)(p + 1) ha de tenir els divisors 2, 3, 4 i per tant ser divisible per 24, tal i com volíem provar. Per altra banda hi ha propietats dels primers molt difícils de demostrar. En aquesta secció enunciarem diverses conjectures sobre ells i la seva distribució. Les quatre primeres inclouen el coneguts com els quatre problemes de Landau, ja que el matemàtic alemany Edmund Landau els va enunciar al Congrés Internacional de Matemàtiques de 1912. Com veurem n'hi ha de dos tipus. Les de Goldbach i Lemoine usen els primers com una mena de descomposició additiva de tots els enters positius. Totes les altres estudien la seva distribució. CONJECTURES 5 Conjectura sobre els primers bessons. Hi ha innites parelles de nombres primers de la forma p, p + 2. Les primeres parelles de primers bessons són (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19). És fàcil raonar que 5 és l'únic número que apareix a dues parelles diferents. L'any 2018, la parella més gran de primers bessons coneguda era 2996863034895 × 21290000 ± 1, formada per nombres amb més de 380 000 xifres. 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 Primers i primers bessons (en vermell o blau) entre 100 i 292. Aquesta conjectura va ser estesa el 1849, pel matemàtic francès Alphonse de Polignac, qui va preguntar-se si per a tot nombre natural k, hi ha innits primers de manera que p i p + 2k son ambdós primers. Aquesta segona propietat es coneix com conjectura de Polignac. Observi's que per a la conjectura que ens ocupa k = 1. La conjectura sobre els primers bessons sembla ser de les més antigues en teoria de nombres tot i que el progressos més grans cap a la seva possible demostració són molt recents. L'any 2013, Yitang Zhang ([111]) va provar que hi ha un k menor que 35 millions, de manera que existeixen innites parelles de nombres primers que difereixen 2k. Més concretament, el seu teorema ens diu que lim inf (pn+1 − pn ) < 7 × 107 , n→∞ on, com sempre, pn indica el primer enèsim. Avui en dia s'està rebaixant signica- tivament aquest ta amb les contribucions de James Maynard i Terence Tao. Una de les maneres (no senzilles) de demostrar l'existència d'innits primers és provar que la serie ∑p primer 1/p és divergent; vegeu [1, 35, 40]. És molt curiós observar que el matemàtic noruec Viggo Brun va demostrar el 1919 ([16]) que si considerem la sèrie formada pels inversos dels primers bessons, ∑ ( + ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ⋯, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p,p+2 primers p p+2 3 5 5 7 11 13 17 19 29 31 aquesta és convergent. El valor de la seva suma es coneix avui en dia com la constant de Brun, B2 , i el seu valor aproximat és 1.90216 ([83, 35]). Malauradament, aquest resultat no prova la conjectura, ja que és coherent amb que sigui certa o falsa. El que si que dóna és una via per a intentar demostrar-la: provar que B2 és irracional. Conjectura de Legendre. Per a tot 0 < n ∈ N hi ha un nombre primer p satisfent n2 < p < (n + 1)2 . La conjectura de Legendre ve recollida a diferents textos i s'atribueix al matemàtic francès Adrien-Marie Legendre, que va viure a cavall dels segles XVIII i XIX. El resultat més important relacionat és degut al matemàtic xinès Jingrun Chen ([26]) qui el 1975 va provar que la conjectura és certa si s'admet que p sigui o primer, o semiprimer. Recordem que un número es diu semiprimer si és el producte de dos primers, eventualment iguals. 6 ARMENGOL GASULL Un resultat similar, però més dèbil va ser conjecturat el 1845 pel matemàtic francès Joseph Bertrand. Aquest armava que per a tot 3 2 és primer, aleshores n = 2m . Per començar, és fàcil provar que per a tot 0 < k, a ≠ b ∈ R, a − b divideix a ak − bk . Això és degut a la igualtat ak − bk = (a − b)(ak−1 + ak−2 b + ak−3 b2 + ⋯ + abk−2 + bk−1 ). Si considerem 2n + 1, no essent una potència de 2, tenim que n = rs per a un amb n cert s, senar. Aleshores, prenent a = 2r , b = −1 i k = s, en la igualtat anterior tenim que 2r + 1 divideix a 2rs − (−1)s = 2n + 1, i per tant 2n + 1 no és primer. En conseqüència el únics nombres 2n + 1 que poden ser primers són els de la forma 22 + 1 =∶ Fm , m que són els anomenats nombres de Fermat. Se sap, des del temps de Fermat, que els Fm són primers per a m = 0, 1, 2, 3, 4. Euler va provar que F5 té el factor 641. La seva descomposició en factors primers és F5 = 232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417. De fet, no es coneix cap més nombre de Fermat que sigui primer, i avui en dia es comença a pensar que potser no n'hi haurà cap més. Els nombres primers de la forma 2n − 1 s'anomenen primers de Mersenne, en honor al matemàtic francès Marin Mersenne (1588-1648). Parlarem d'ells en la secció següent, quan estudiem els nombres perfectes. Conjectura de Goldbach. Tot nombre enter parell, més gran que 2, és suma de dos nombres primers Aquesta conjectura és un dels problemes oberts més famosos a matemàtiques. Com ja hem dit a la introducció, apareix el 1742 a partir de la correspondència CONJECTURES 7 entre Christian Goldbach i Leonhard Euler. Per exemple, 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53. Avui en dia se sap que és certa per a tot els naturals ns a 4 × 1018 . De fet, el que Goldbach va començar proposant és que tot nombre enter més gran que 5 era suma de tres nombres primers (be, de fet, ell va dir tot nombre més gran que 2 ja que per aquell temps encara es considerava 1 com a primer) i Euler li va respondre que la seva conjectura era conseqüència de la que hem enunciat. Un del avenços més importants en la direcció de provar-la és degut de nou a Jingrun Chen. El 1973 va demostrar que per a n parell prou gran, n és o bé la suma de dos primers o bé la suma d'un primer i un semiprimer ([25]). Un altre resultat molt relacionat és el del recent treball de Terence Tao ([107]) on l'autor prova que tot nombre senar més gran que 1 és suma de com a molt cinc primers. Conjectura de Lemoine. Tot nombre senar, més gran que 5, és la suma d'un nombre primer i el doble d'un nombre primer Aquesta conjectura és molt semblant a la anterior. Va ser proposada el 1894 pel matemàtic i enginyer francès Émile Lemoine. Hardy i Littlewood la van llistar com conjectura I en un dels seus treballs. Per exemple, 47 = 13 + 2 × 17 = 37 + 2 × 5 = 41 + 2 × 3 = 43 + 2 × 2. Canviant el primers per altres tipus de nombres, com per exemple quadrats hi ha resultats amb el mateix esperit que aquesta conjectura i la de Goldbach. Així, Lagrange va demostrar que tot enter positiu és suma de quatre quadrats. Conjectura d'Oppermann. Per a tot 1 < n ∈ N hi ha un parell de nombres primers piq satisfent n(n − 1) < p < n2 < q < n(n + 1). La conjectura d'Oppermann és molt similar a la de Legendre, però encara més restrictiva. Va ser enunciada pel matemàtic danès Ludvig Oppermann el 1877. Conjectura de Brocard. Per a tot n≥2 hi ha com a mínim quatre nombres primers entre p2 n i p2n+1 , on pn denota l'enèsim nombre primer. Aquesta conjectura va ser proposada pel matemàtic i meteoròleg francès Henri Brocard a principis del segle XX. Per exemple, entre p22 = 9 i p23 = 25 en tenim cinc: 11, 13, 17, 19, 23. L'expressió de la conjectura en una fórmula és ∆(n) = π(p2n+1 ) − π(p2n ) ≥ 4, on recordem que π(n) denota el número de primers menors o iguals que n. Així, el primers valors de ∆ per a n ≥ 2 són: 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, . . . √ √ Conjectura d'Andrica. Per a tot n≥1 es compleix que A(n) = pn+1 − pn < 1, on pn denota l'enèsim nombre primer. Aquesta conjectura va ser proposada pel matemàtic romanès Dorin Andrica el A(n)√< 1 quan pn = m i pn+1 = m + 2 són √ 1986 ([2]). Per exemple, és fàcil veure que una parella de primers bessons ja que A(n) = m + 2 − m < 0.51, per a m ≥ 3. De fet, la conjectura ens diu que el forat entre dos primers consecutius, pn+1 − pn , √ compleix pn+1 − pn < 1 + 2 pn . S'ha comprovat que A(n) < 1 ns a n = 1016 i el valor √ √ màxim ns el moment és A(4) = 11 − 7 ≈ 0.67, vegeu a la Figura 2 la gràca d'A per a n ≤ 1000. Fins i tot a [109] es proposa que A(n) < 1/2, per a n > 30. 8 ARMENGOL GASULL √ √ Figura 2. Valors de pn+1 − pn per a 1 ≤ n ≤ 1000. √ Conjectura de Firoozbakht. La funció n p , n on pn denota l'enèsim nombre primer, és estrictament decreixent. Va ser proposada pel matemàtic iranià Farideh Firoozbakht el 1982. S'ha vericat per a tots els primers menors que 264 . Conjectura de Cramér. Es compleix que pn+1 − pn = 1, ln2 (pn ) lim sup n→∞ on pn denota l'enèsim nombre primer. L'enunciat que donem és una versió una mica més forta que la conjectura que va donar el matemàtic suec Harald Cramér el 1936, que deia que pn+1 −pn = O(ln (pn )), 2 i que és la que s'intenta provar avui en dia. El mateix Cramér va demostrar que √ si la hipòtesi de Riemann, de la que parlarem més endavant, fos certa, aleshores pn+1 − pn = O( pn ln(pn )). Recordem que és diu que f (n) = O(g(n)) si existeix N ∈ N i K ∈ R tals tal que per a tot n ≥ N, ∣f (n)∣ ≤ Kg(n). El 1931, Westzynthius ja va demostrar que pn+1 − pn = ∞. ln(pn ) lim sup n→∞ Conjectura de Gilbreath. Sigui {pn }n la successió dels nombres primers orde- nats. Per a tot 0 < n ∈ N, denim dn = pn+1 − pn i de manera recurrent, per a tot (1) k > 0, dn = ∣dn+1 − dn ∣. Aleshores, per a tot 0 < k ∈ N, es compleix que d1 = 1. (k+1) (k) (k) (k) El seu nom és degut a que el màgic nord-americà Norman L. Gilbreath la va formular el 1958, quan era estudiant. Tot i el nom amb el que es coneix, l'any 1878 el matemàtic autodidacta francès François Proth ja l'havia proposat i intentat demostrar. CONJECTURES 9 d1 = 1, k ≤ 6. (k) Per exemple, en els càlculs següents es comprova que per a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . . . 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, . . . 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, . . . 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, . . . 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, . . . 1, 2, 0, 0, 0, 2, . . . 1, 2, 0, 0, 2, . . . d1 = 1, k ≤ 3.4 × 1011 . (k) Se sap que per a Paul Erdös va especular sobre que aquesta conjectura és certa però segurament passarien més de 200 anys abans no es pogués demostrar. La principal raó és que no és semblant a altres tipus de problemes estudiats pels quals hi ha eines matemàtiques molt potents i ben desenvolupades. De fet, el matemàtic hongarès és famós per la qualitat i quantitat dels seus treballs . i pel gran nombre de col laboradors que va tenir. A més, ns i tot hi ha una plana a la Wikipedia dedicada exclusivament a les seves conjectures. Quan s'està escrivint aquest article hi ha una llista de 12 conjectures obertes i 14 de resoltes, de les quals només una ha resultat ser falsa. Segona conjectura de HardyLittlewood. Sigui π(x) la funció que compta el número de nombres primers menors o iguals que x. Aleshores π(x + y) ≤ π(x) + π(y) per a tot x ≥ 2, y ≥ 2. Aquesta conjectura va ser proposada el 1923 per Godfrey H. Hardy i John E. Littlewood al mateix temps que una primera conjectura que generalitzava la de l'existència d'innites parelles de primers bessons ([55]). Per exemple, 16 252 325 = π(3 × 108 ) < π(108 ) + π(2 × 108 ) = 5 761 455 + 11 078 937 = 16 840 392. És curiós observar que el 1974, Richards va demostrar que ambdues conjectures de HardyLittlewood són incompatibles. Conjectura dels primers de Germain. Hi ha innites parelles de nombres primers de la forma p, 2p + 1. Aquesta conjectura és similar a la dels primers bessons. Un nombre primer p es diu que és un primer de Germain si S(p) = 2p+1 és també primer. Aquests nombres van ser considerats per primer cop per la matemàtica francesa Marie-Sophie Germain (1776-1831) en els seus intents de provar el darrer Teorema de Fermat. Uns quants d'aquests són 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, . . . , 491, 509, 593, . . . i el més gran que es coneix té més de 380 000 xifres. Una seqüència de números de la forma [p, S(p), S(S(p)), ...., S k (p)], on S m (p) = S(S m−1 (p)), en la que tots els seus elements són primers s'anomena cadena de Cun- ningham ([29]), en honor al matemàtic britànic Allan Cunningham (18421928). En aquesta cadena tots els elements menys l'últim són primers de Germain. Un exemple de cadena completa, és a dir que no es pot allargar més, de mida 6 és [89, 179, 359, 719, 1439, 2879], ja que 5759 = 13 × 443. Es conjectura també que per a tot k ∈ N hi ha innites cadenes de Cunningham de mida k. A la vegada, aquesta nova conjectura va ser estesa el 1904 per la coneguda com conjectura de Dickson 10 ARMENGOL GASULL ([34]), que no descrivim amb detall. En poques paraules, arma que xades k∈N expressions ans en n del tipus considerat per Dirichlet, amb coecients naturals, en molts casos aquestes donen lloc simultàniament a k nombres primers, per a innits valors de n. Conjectura de Grimm. Donats k n + 1, . . . , n + k nombres naturals consecutius, de manera que cap d'ells és primer, hi ha k primers diferents, q1 , q2 , . . . , qk , no necessàriament ordenats, tals que cada qj divideix a n + j per a 1 ≤ j ≤ k. Per exemple, els 13 números consecutius entre 114 i 126 són compostos (no pri- mers) i tenen respectivament els divisors primers 2, 23, 29, 13, 59, 17, 3, 11, 61, 41, 31, 5, i 7. Aquesta conjectura va ser proposada per Grimm en un article de 1969 ([50]). 2. Conjectures sobre nombres naturals Recollim aquí diferents conjectures que el que tenen en comú és que involucren nombres naturals però en les que l'objectiu no és l'estudi dels nombres primers. Varies d'elles consideren equacions diofàntiques, és a dir equacions amb coecients enters (i moltes d'elles polinomials) per a les quals només es busquen solucions enteres. Conjectura sobre els nombres perfectes. Hi ha innits nombres perfectes. És diu que un nombre natural n és perfecte si és igual a la suma de tots els seus divisors menors que ell mateix. Així el més petit és 6 = 1 + 2 + 3. El primer en estudiar-los va ser Euclides, qui ja va demostrar que si 2n − 1 és primer, aleshores 2n−1 (2n − 1) és un nombre perfecte. Com ja hem comentat, el primers de la forma Mn = 2n − 1 s'anomenen primers de Mersenne, i no és difícil veure que una condició necessària per a que 2n − 1 sigui primer és que n sigui primer. Això és degut a que si n = pq, aleshores 2n − 1 = (2p ) − 1 = (2p − 1)((2p ) + (2p ) + ⋯ + 2p + 1), q q−1 q−2 ja quexq − 1 = (x − 1)(xq−1 + xq−2 + ⋯ + x + 1). La condició no és sucient, com mostra l'exemple M11 = 211 − 1 = 2047 = 23 × 89. Ara bé hi ha una caracterització dels casos primers introduïda el 1878 pel matemàtic francès Édouard Lucas i completada el 1930 pel matemàtic nord-americà Derrick H. Lehmer. Avui en dia aquesta condició es coneix com el test de primalitat de LucasLehmer, vegeu ([63, 98]) i les seves referències. Aquest test ens diu que si per a tot n ∈ N, introduïm la seqüència de nombres de LucasLehmer Ln+1 = L2n − 2, L1 = 4, aleshores, per a n ≥ 3, Mn = 2n − 1 és primer si i només si Mn divideix a Ln−1 . M3 = 7 divideix L2 = 14 tenim que 7 és primer. De manera Per exemple, com que similar, M5 = 31 L4 = 37634 = 31 × 1214 i per tant 31 és primer. En canvi es divideix pot comprovar que M11 no divideix a L10 . De fet, el 1876, Lucas va utilitzar el seu resultat per demostrar que M127 és un nombre primer (de 39 xifres). Avui en dia és el més gran trobat sense l'ajut de cap ordinador. CONJECTURES 11 Figura 3. El 39è primer de Mersenne, trobat el 2001. A nals de 2018 és va trobar el primer de Mersenne més gran conegut ns avui, que correspon a n = 82 589 933, és el que fa 51, té més de 24 × 106 dígits i també és el nombre primer més gran conegut. Tots els nombres perfectes coneguts són de la forma 2n−1 (2n − 1). Els quatre primers ja van ser donats per Euclides i són 6, 28, 496, i 8128. Els tres següents eren coneguts al segle XII pel matemàtic egipci Ismail ibn Fallus: 33 550 336 = 212 (213 − 1), 8 589 869 056 = 216 (217 − 1), i 137 438 691 328 = 218 (219 − 1). A Europa no es van trobar ns el segle XVI. Al segle XVIII Euler va provar que tots els nombres perfectes parells eren de la forma 2n−1 (2n − 1). Aquest resultat es sol a conèixer com el Teorema d'EuclidesEuler. Avui en dia es coneixen 51 nombres perfectes parells i el més gran correspon al primer de Mersenne esmentat a dalt. Com a conseqüència del Teorema d'EuclidesEuler tots els nombres perfectes parells acaben en 6 o en 8. Anem a provar-ho. Recordem que n ha de ser primer, i si n > 2, aleshores o bé n = 4m + 1, o bé n = 4m + 3. En el primer cas, 2n−1 (2n −1) = 24m (24m+1 −1) = 16m (2×16m −1) ≡ 6m (2×6m −1) ≡ 6(12−1) ≡ 6 (mod 10), ja que 6m ≡ 6 (mod 10). Recordem que, donats r, s ∈ N, r ≡ s (mod 10) si i només si acaben amb la mateixa xifra. De manera similar, si n = 4m + 3, 2n−1 (2n − 1) = 4 × 16m (8 × 16m − 1) ≡ 4 × 6(8 × 6 − 1) ≡ 4(8 − 1) ≡ 8 (mod 10). Per tant, el resultat es compleix per a tots els nombres perfectes més grans que 6. Per 6 és trivial. L'expressió en base dos de tots els nombres perfectes coneguts és ben curiosa i es dedueix clarament de la igualtat 2n−1 (2n − 1) = 2n−1 (2n−1 + 2n−2 + ⋯ + 22 + 2 + 1) = 22n−2 + 22n−3 + ⋯ + 2n+1 + 2n + 2n−1 . Així 610 = 1102 , 2810 = 111002 , 49610 = 111 110 0002 , 812810 = 1 111 111 000 0002 També és curios observar que tot nombre parell perfecte és la suma dels primers 2n −1 nombres enters i també, si és més gran que 6, la suma de tots els senars al 28 =22 (23 − 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 13 + 33 , 496 =24 (25 − 1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 29 + 30 + 31 = 13 + 33 + 53 + 73 , 8128 =26 (27 − 1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 126 + 127 = 13 + 33 + 53 + ⋯ + 133 + 153 , 33550336 =212 (213 − 1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 8190 + 8191 = 13 + 33 + 53 + ⋯ + 1253 + 1273 . 12 ARMENGOL GASULL cub ns a 2(n+1)/2 − 1. Per exemple, 6 =2 (2 − 1) = 1 + 2 + 3, 1 2 1 28 =22 (23 − 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 13 + 33 , 496 =24 (25 − 1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 29 + 30 + 31 = 13 + 33 + 53 + 73 , 8128 =26 (27 − 1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 126 + 127 = 13 + 33 + 53 + ⋯ + 133 + 153 , 33550336 =212 (213 − 1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 8190 + 8191 = 13 + 33 + 53 + ⋯ + 1253 + 1273 . Figura 4. Prova sense paraules d'una fórmula per trobar la suma dels cubs. 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 Aquesta segona propietat és deguda a que Figura 4. Prova sense paraules d'una n(n +per fórmula 2 n2 (n + 1) 1) trobar 2 la2 suma dels cubs. ∑ k = ( ∑ k) = ( ) = n n 3 , k=1 k=1 2 4 vegeu la Figura 4. Per tant, 13 + 33 + ⋯és+ (2m Aquesta segona propietat − 1)3 =(1 deguda a que 3 + 23 + ⋯ + (2m)3 ) − (23 + 43 + ⋯ + (2m)3 ) (2m)2 (2m +21)2 23 m2 (m + 21)2 =n(n + 1) n2 (n + 41) = m2 (2m2 − 1). − 2 ∑ k = ( ∑ k) = ( 4 ) = n n 3 , k=1 k=1 2 4 vegeu la Figura 4. Per tant, 13 + 33 + ⋯ + (2m − 1)3 =(13 + 23 + ⋯ + (2m)3 ) − (23 + 43 + ⋯ + (2m)3 ) (2m)2 (2m + 1)2 m2 (m + 1)2 = − 23 = m2 (2m2 − 1). 4 4 Així, prenent m2 = 2n−1 obtenim el resultat desitjat. La major part dels resultats . presentats en aquesta secció han estat extrets de l'excel lent survey [110]. No se sap si hi ha nombres perfectes senars. En cas d'existir haurien de ser més grans que 101500 , vegeu [88]. Conjectura d'ErdösStrauss. Per a tot 2 y > 1, m, n > 2, x, y, n, m ∈ N xm − 1 y n − 1 i de l'equació = x−1 y−1 , són (x, y, m, n) = (5, 2, 3, 5) i (x, y, m, n) = (90, 2, 3, 13). El matemàtic i enginyer belga René Goormaghtigh la va formular el 1917. Clara- ment, 53 − 1 25 − 1 903 − 1 213 − 1 = = 31 i = = 8191. 5−1 2−1 90 − 1 2−1 A partir de la identitat xm − 1 = (x − 1)(xm−1 + xm−2 + ⋯ + x2 + x + 1) tenim que les Figura 3:a dues igualtats anteriors són equivalents Tetraedre de Sierpiński i esponja de Menger. 1115 = 11 1112 i 11190 = 1 111 111 111 1112 , respectivament, on k` denota l'expressió d'un nombre natural en base `. Així, si la conjectura és certa, 31 i 8191 serien el únics nombres naturals que s'expressen en dues bases diferents com a tires successives d'1's. Aquest tipus de nombres s'anomenen repunits.L'etimologia del nom és clara: repetició d'unitats. Observeu que tots el nombres de Mersenne, 2n − 1 són repunits en base 2. CONJECTURES 15 Conjectura de Carmichael. Siguiϕ(n) el número d'enters positius menors o iguals que n ∈ N que són coprimers amb n. Aleshores, per a tot n ∈ N existeix un m≠n tal que ϕ(n) = ϕ(m). Recordem que es diu que dos nombres naturals són coprimers si el seu màxim comú divisor és 1. La funció ϕ s'anomena funció ϕ d'Euler. Per exemple, ϕ(20) = 8 ja 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 són els únics coprimers amb 20, menors que ell. El matemàtic nord-americà Robert D. Carmichael va fer la conjectura el 1922, 15 anys després de pensar que tenia una demostració del mateix resultat, vegeu [18, 19]. Se sap que si no fos certa el contraexemple hauria de tenir més de 1010 xifres. Per exemple, ϕ(69) = ϕ(92) = ϕ(138) = 44. També, per a tot primer p > 2, ϕ(p) = ϕ(2p) = p − 1. Una manera de provar-ho és usar que si el mcd(m, n) = 1 aleshores ϕ(m n) = ϕ(m)ϕ(n). Per tant, com que per a p > 2, primer, mcd(2, p) = 1, ϕ(2p) = ϕ(2)ϕ(p) = ϕ(p). Conjectura de Singmaster. Hi ha un valor S ∈ N tal que qualsevol número diferent a 1 apareix al triangle de Tartaglia com a molt S cops. Aquest triangle de nombres combinatoris es coneix a occident amb els noms de triangle de Tartaglia o de Pascal, deguts al matemàtic italià Niccolò Fontana (1499- 1557), anomenat Tartaglia, i al matemàtic francès Blaise Pascal (1623-1662). Tot i així sembla que a Europa es va usar abans a França (Gersonides, segle XIV) i Alemanya (Petrus Apianus, segle XVI). De fet, molt abans, ja es coneixia a l'Índia, Persia (Iran), o Xina. Per exemple, a l'Índia als voltants del segle II abans de Crist ja l'usava el matemàtic indi, Acharya Pingala, a Iran se l'anomena triangle de Khayyám, en honor a l'astrònom i matemàtic Omar Khayyám (10481131) i a la Xina se'l coneix com triangle de Yang Hui pel matemàtic del mateix nom que va viure entre 1238 i 1298. De fet, semblà ser que a Persia i Xina, aquest triangle era conegut ns i tot una mica abans dels matemàtics que li donem nom. A la Figura 6 es veu una reproducció de 1303 del mateix, que usa nombres xinesos tradicionals i una altra amb numeració actual. Figura 6. Triangles de Tartaglia/Pascal. 16 ARMENGOL GASULL El matemàtic britànic David Singmaster va proposar la conjectura que ens ocupa el 1971. Ell mateix va provar el 1975 que hi ha innits valors que apareixen com a mínim 6 vegades. Un d'ells és 120, 120 = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ). 120 120 16 16 10 10 1 119 2 14 3 7 L'únic número conegut que apareix 8 cops és 3003 = ( )=( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ). 3003 3003 78 78 15 15 14 14 1 3002 2 76 5 10 6 8 Així, en cas de ser certa la conjectura, S ≥ 8. Sembla ser que Singmaster pensava que S podria ser 10 o 12. El que si és fàcil veure és que qualsevol 1 < m ∈ N apareix un nombre nit de vegades. Això és degut a que el valor m només pot aparèixer a les primeres m + 1 les. Conjectura de Beal. Si A, B, C, `, m, n ∈ N són enters positius, amb `, m, n > 2 i tals que A` + B m = C n , aleshores A, B i C tenen un factor primer en comú. Aquesta conjectura va ser formulada el 1993 pel banquer i matemàtic acionat Andrew Beal, mentre investigava extensions del celebre darrer Teorema de Fermat, del que ja hem parlar a la introducció. L'exemple 73 + 132 = 29 mostra perquè es demana que tots els exponents siguin més grans que 2. És clar que hi ha altres solucions amb A, B i C no coprimers. Per exemple, per a k ≥ 1, 2k + 2k = 2k+1 o 33k + (2 × 3k )3 = 33k+2 . Conjectura sobre la màxima persistència multiplicativa. Donat n ∈ N, sigui Π(n) ∈ N el producte de totes les seves xifres. Denotem com Pm(n) ∈ N el primer enter tal que ΠPm(n) (n) = ΠPm(n)+1 (n), on Π0 = Id i Πk (n) = Π(Πk−1 (n)). Aleshores, per a tot n ∈ N, Pm(n) ≤ 11. Donat n ∈ N, el valor Pm(n) n. El seu s'anomena persistència multiplicativa de signicat es veu més clarament fent un exemple. Si considerem n = 68889 tenim que Π(68889) = 6 × 8 × 8 × 8 × 9 = 27648. Si continuem aplicant successivament Π obtenim 68889 → 27648 → 2688 → 768 → 336 → 54 → 20 → 0 → 0 → 0 → ⋯, és a dir que Pm(6889) = 7, ja que Π7 (6889) = Π8 (6889) = 0 i no hi ha hagut cap coincidència anterior entre dos valors consecutius de les iteracions. Els números més 1, 2, . . . , 11 són 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, petits amb persistències multiplicatives 2677889, 26 888 999, 3 778 888 999, M = 277 777 788 888 899. De fet se sap que no apareixen persistències més altes per a n < 10233 . Aquesta conjectura comença amb el treball de N. Sloane ([104]) publicat el 1973 al Journal of Recreational Mathematics. Observem que, per exemple, Π(M ) = 219 34 76 . En general, una primera simplicació ja observada per ell és que la descomposició en factors primers que qualsevol Π(n) amb persistència més gran que 3 ha de ser o bé 2i 3j 7k o 3i 5j 7k , i per tant només cal estudiar la persistència d'aquests dos tipus de números. L'armació és certa ja que com Π(n) és producte de números d'una xifra, Π(n) = 2i 3j 5k 7m , amb els exponents enters més grans o iguals que zero, i a CONJECTURES 17 més, si apareixen a la vegada el 2 i el 5, és a dir si i > 0 i k > 0, Π` (2i 3j 5k 7m ) = 0, per a tot 0 < ` ∈ N, ja que 2i 3j 5k 7m acaba en zero. S'ha estudiat també el problema quan els números estan expressats en altres bases, vegeu per exemple [31]. El treball citat ataca el problema des del punt de vista dels Sistemes Dinàmics. Conjectura de no palindromia. Sigui f ∶ N → N denida com f (n) = n + rev(n), on rev és l'aplicació que inverteix l'ordre de les xifres de n. Aleshores hi ha innits valors de n tals que si es consideren tots els números f (n), per a 0 < k ∈ N, on k f 0 = Id i f k (n) = f (f k−1 (n)), cap d'ells és capicua. A més, el menor d'aquest números és 196. Com en la conjectura anterior, comencem amb un cas senzill per entendre millor l'enunciat. Per exemple, si prenem n = 183, f (183) = 183 + 381 = 564, i tenim 183 → 564 → 564 + 465 = 1029 → 1029 + 9201 = 10230 → 10230 + 3201 = 13431, que és capicua. Si es comença amb n = 89, es necessiten 24 iteracions per trobar un valor capicua, que és 88132 000 23188. Resulta que si es comença amb n = 196 encara no s'ha trobat cap iterat que sigui capicua, tot i els milions que se n'han fet ([87]). Es desconeix qui va ser el primer que va estudiar aquesta qüestió i la referència més antiga és un treball de Lehmer ([73]) a la revista belga de divulgació matemàtica Sphinx, que només es va publicar entre 1931 i 1939. La qüestió es va tornar a popularitzar a partir del treball de Trigg ([108]), publicat el 1967. En anglès, el números n tals que cap dels seus iterats és capicua s'anomenen de vegades nombres de Lychrel (acrònim del nom Cheryl). POT NOT ON TOP Figura 7. Un palíndrom o frase capicua en anglès. Els primers números que podrien ser de Lychrel són 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, . . . A la Figura 8 fem la gràca de la funció h que assigna a cada n ∈ N el mínim valor h(n) ≤ 1000 que fa que f h(n) sigui capicua, o 1000 en cas de que cap dels 1000 primers iterats ho sigui. Per claredat, restringim la gràca a la banda 1 ≤ h(n) ≤ 40. Els pics que presenta corresponen als 13 valors de la llista anterior. Observi's que, per a tots els altres valors, h(n) és com a molt 24. 18 ARMENGOL GASULL Figura 8. Possibles nombres de Lychrel. En resum, avui en dia no es coneix cap nombre de Lychrel en base 10. Per altra banda, sí que se sap que hi ha nombres de Lychrel en base 2. Per exemple n = 101102 (que correspon a 22 en base 10) ho és. Això és degut a que f 4 (n) = 101101002 , ja que 101102 → 101102 + 011012 = 1000112 → 10101002 → 11010012 → 101101002 , f 8 (n) = 10111010002 , f 12 (n) = 1011110100002 , i en general, com es demostra a [15], després de 4n iteracions s'arriba a un número que comença en 10, després té n+1 uns, segueix un 01 i acaba amb n + 1 zeros. Conjectura de Selfridge. El menor número senar k∈N tal que k × 2n + 1 és no primer per a tot n∈N és k = k0 = 78557. En general, un número senar k∈N es diu de Sierpinski si k × 2n + 1 és no primer per a tot n ∈ N. Així, en altres paraules la conjectura arma que k0 és el menor nombre de Sierpinski. De fet, el 1960 Sierpinski va provar que hi ha innits nombres de Sierpinski. Els primers que es coneixen són k0 , 271129 i 271577. La prova de que k0 ho és és deguda al matemàtic nord-americà John L. Selfridge, qui va fer la conjectura que ens ocupa el 1962. Avui en dia, el únics candidats a desbancar el valor k0 21181, 22699, 24737, 55459, i 67607. Per tots els altres valors de k < k0 són hi ha un n(k) de manera que k × 2n(k) + 1 és primer. De fet ns el 2017 hi havia el 10223 a la llista anterior, però es va demostrar que 10223 × 231172165 + 1 és primer. Pels números de la forma k × 2n − 1, que es diuen de Riesel, en honor al matemàtic suec Hans Ivar Riesel, hi ha resultats i problemes similars. En aquest cas, el menor k trobat complint la propietat desitjada és 509203. 3. Altres conjectures Versió de Lagarias de la hipòtesi de Riemann. Si Hn = ∑nj=1 1/j aleshores ∑ d ≤ Hn + exp(Hn ) ln(Hn ), d∣n amb igualtat només per a n = 1. En l'enunciat, el valors Hn són les sumes parcials de la sèrie harmònica i són coneguts com nombres harmònics i σ(n) = ∑d / n d és la funció suma dels divisors CONJECTURES 19 de n. Per exemple σ(6) = 12 i, de fet, per a tots els nombres perfectes σ(n) = 2n. Es té que H6 + exp(H6 ) ln(H6 ) ≈ 12.83, vegeu també la Figura 9. Tot i que la conjectura anterior només involucra conceptes senzills, Lagarias a [68] prova que és equivalent a la famosa hipòtesi de Riemann, enunciada pel matemàtic alemany el 1859. Recordem-la breument. Considerem la funció zeta de Riemann denida com segueix: al semiplà complex Re(s) > 1, és la sèrie convergent ∞ ζ(s) = ∑ 1 s , n=1 n i al semiplà tancat complementari és la seva extensió analítica, vegeu [37, 38, 91]. És conegut que aquesta funció només té una singularitat a s = 1, que és un pol simple. La hipòtesi de Riemann arma que tots els zeros no reals de ζ estan sobre la recta Re(s) = 1/2. Si la conjectura fos certa implicaria un coneixement millor de la distribució dels nombres primers i tindria moltes aplicacions en altres problemes de la matemàtica i la física, vegeu de nou [37, 68]. De fet, avui en dia aquesta conjectura està considerada com una de les més importants en matemàtiques. Figura 9. Valors de Hn + exp(Hn ) ln(Hn ) − σ(n) per n ≤ 1000. Conjectura 3x + 1. Si per a qualsevol x0 ∈ N, considerem la successió ⎧ ⎪ 3xn +1 ⎪ 2 , quan xn és senar, xn+1 = g(xn ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩2, xn quan xn és parell, hi ha un N = N (x0 ) tal que per a tot n > N, la successió és 2, 1, 2, 1, 2, 1, . . . Per exemple, si comencem amb x0 = 11 la successió és 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1, 2, 1, . . . En llenguatge dinàmic la conjectura ens diu que l'òrbita de tota condició inicial natural acaba en l'òrbita 2-periòdica {1, 2}. A la Figura 10 es mostren els 164 iterats que es necessiten per arribar ns a 2, si x0 = 6171. De fet, per primer cop x164 = 2 i el més allunyat és x46 = 487 700. Se sap que el resultat és cert per a tot x0 menor que 87×260 . Hi ha molta més informació als surveys [24, 67, 69]. Segons l'autor d'un d'ells, J. Lagarias, aquesta conjectura és un problema extraordinàriament difícil, completament fora de l'abast de les matemàtiques d'avui en dia. 3xn +1 De vegades es presenta una versió equivalent de la conjectura en la que el es 3xn +1 en la denició de g. 2 canvia simplement per un Aquesta equivalència és deguda a que 3xn + 1 és sempre parell. És clar que aleshores la conjectura té un enunciat 20 ARMENGOL GASULL equivalent en el que arma que tota successió acaba fent 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . . Òbviament, el valor N (x0 ) canvia i es fa més gran. Figura 10. Òrbita corresponent a x0 = 6171 ns arribar al valor 2 i ampliació dels darrers valors. Sembla ser que la primera persona que va estudiar aquesta qüestió va ser el mate- màtic alemany Lothar Collatz, als voltants de 1930. També es coneix com conjectura de Collatz, conjectura d'Ulam, problema de Kakutani o problema de Syracuse. El resultat no és cert per a x0 ∈ Z no positius. Començant amb x0 ∈ {0, −1, −5, −17} apareixen quatre comportaments nals diferents. Per exemple tenim −5, −7, −10, −5, −7, −10, . . . De moment no s'han trobat altres comportaments nals. L'aplicació g es pot estendre als nombres reals o als complexos, com 3z + 1 2 π 1 + 4z − (1 + 2z) cos(πz) g(z) = cos2 ( z) + sin ( z) = z π . 2 2 2 2 4 Aquesta aplicació presenta dinàmiques complicades, vegeu [23, 75]. Conjectura Jacobiana. F ∶ Cn → Cn és una aplicació polinomial tal que Si det(DF (x)) ≡ c, on 0 ≠ c ∈ C, aleshores F és globalment invertible (i la seva inversa també és polinomial). Aquesta conjectura va ser proposada pel matemàtic alemany Ott-Heinrich Keller el 1939 per a polinomis amb coecients enters i amb el temps es va estendre al cas general. De vegades se l'anomena també problema de Keller. L'armació de que la inversa és polinomial està entre parèntesis perquè ja s'ha provat que si F és globalment invertible aleshores obligatòriament la inversa és també polinomial. De fet, pels resultats de BialynickiBirula i Rosenlicht de 1962 i de Rudin de 1995, se sap que ns i tot n'hi ha prou amb provar només que F és injectiva. Per a tenir més informació sobre la conjectura i referències dels resultats que descrivim a continuació podeu consultar la monograa d'Arno van den Essen sobre el tema [43]. Recordem que DF indica la matriu Jacobiana de l'aplicació. Així, si F admet una inversa global diferenciable, diguem G, tenim que G(F (x)) ≡ x. Derivant obtenim DG(F (x))DF (x) ≡ Id . Prenent determinants det(DG(F (x)) det(DF (x)) ≡ 1, CONJECTURES 21 i com a conseqüència det(DF (x)) ≠ 0 per a tot x ∈ C. Ara bé, si F és una aplicació polinomial, det(F (x)) és un polinomi en n-variables a C, i l'única manera de que . no s'anul li mai és que sigui una constant. En poques paraules acabem de veure que det(DF (x)) ≡ c, amb 0 ≠ c ∈ C, és una condició necessària perquè una F polinomial sigui globalment invertible. Pel Teorema de la funció inversa, aquesta condició implica l'existència d'inversa local a tots els punts. El que ens diu la conjectura és que aquesta condició també és sucient. La conjectura només es planteja per a polinomis ja que per a funcions analítiques ja se sap que no és certa. L'exemple que se sol presentar és l'aplicació de C2 en si √ √ mateix, F (x, y) = (F1 (x, y), F2 (x, y)) = ( 2ex/2 cos(ye−x ), 2ex/2 sin(ye−x )). Per aquest exemple, per a tot (x, y) ∈ C2 , ∂F1 (x, y) ∂F2 (x, y) ∂F1 (x, y) ∂F2 (x, y) det(DF (x, y)) = − = 1, ∂x ∂y ∂y ∂x però F (0, y + 2kπ) = F (0, y) per a tot k ∈ Z. Usant resultats bàsics d'àlgebra lineal és clar que la conjectura es compleix quan F té grau 1. Si F té grau 2 va ser demostrada per Stuart Wang l'any 1980. El que és més curios és que també a principis dels 80, Bass, Connell, Wright, per una banda i Yagzhev per una altra van provar que si la conjectura fos certa en qualsevol dimensió, per a totes les F 's de grau 3, també seria certa en general i per a qualsevol dimensió. Per altra banda, és molt fàcil veure que la conjectura és certa en dimensió 1, però per a n = 2, ns i tot en el cas d'aplicacions polinomials reals, encara és un problema obert. En l'original article [42], l'autor explica que segons una enquesta feta per ell l'any 1977 entre els assistents a un congrés sobre el tema, el 62.4% pensava que la conjectura en general seria falsa. En cap moment hem parlat de la nor d'una conjectura. Direm que una con- jectura és na si debilitant una mica les seves hipòtesis ja no és certa. En aquest sentit és famosa la broma que es fa sobre la conjectura Jacobiana. Seria la meta- conjectura següent: Si una conjectura és més forta que la conjectura Jacobiana (és a dir la implica però no és equivalent) aleshores és falsa. Fins al moment, aquesta metaconjectura s'ha mostrat certa! Per exemple, durant uns quants anys es va pen- sar que per a aplicacions polinomials reals de Rn en si mateix, es podia substituir la hipòtesi det(DF (x)) ≡ c ≠ 0, per la hipòtesi més dèbil det(DF (x)) ≠ 0, per a tot x ∈ Rn , i el resultat d'invertibilitat global seguia essent cert. L'any 1994, Pinchuk va donar el primer contraexemple per a n=2 i grau 25. Conjectura de Casas-Alvero. Si un polinomi n a C[x] té alguna de P de grau les seves arrels en comú amb cada una de les seves derivades P (k) , k = 1, 2, . . . , n − 1, aleshores P (z) = a(z − b)n per a certs 0 ≠ a, b ∈ C. En principi, les arrels comuns entre P i cada P (k) poden dependre de k, però si la conjectura fos certa, precisament ens diria que aquesta arrel sempre ha de ser la mateixa. Casas-Alvero va arribar a aquest problema a principis d'aquest segle treballant en el seu article [20], en el que intentava obtenir criteris d'irreductibilitat per a series de potencies complexes en dues variables. A [21] podeu llegir una explicació de la conjectura en les seves pròpies paraules. 22 ARMENGOL GASULL Els graus més petits pels quals la conjectura no s'ha provat són n = 24, 28, o 30. També se sap que és certa quan n és de la forma pm , 2pm , 3pm , o 4pm , per a un cert primer p i m ∈ N, vegeu [22, 33, 36, 48]. Quan P ∈ R[x], afegint que totes les seves arrels són reals, també es conjectura el resultat equivalent. La conjectura no és certa per a polinomis sobre cossos amb característica p ≠ 0. Per exemple, considerem P (x) = x2 (x2 + 1) en característica 5 amb arrels 0, 0, 2, i 3. AleshoresP ′ (x) = 2x(2x2 + 1), P ′′ (x) = 12x2 + 2 = 2(x2 + 1), i P ′′′ (x) = 4x i tots ells comparteixen arrels amb P. Conjectura sobre la normalitat de π . Per a tot0 < k ∈ N, en l'expressió decimal de π qualsevol bloc de k dígits apareix amb probabilitat 10−k . Un nombre real x es diu normal (en base 10) si, en les seves xifres decimals, qualsevol bloc de k dígits apareix amb una freqüència relativa límit 10−k , vegeu [5, 65, 84]. Més concretament, si B és un bloc qualsevol de k dígits i denotem per mn (B, x) el número de vegades que el bloc B apareix en les primeres n xifres decimals de x, aleshores, per a tot bloc B, mn (B, x) = k. 1 lim n→∞ n 10 Els nombres normals són, d'alguna manera, els més aleatoris. El matemàtic francès Émile Borel va demostrar que gairebé tots els nombres són normals, però no és gens fàcil donar exemples concrets. Alguns dels nombres normals més famosos són 0.12345678910111213 . . . , 0.149162536496481100 . . . , 0.2357111317192329 . . . . Aquests corresponen a posar de manera consecutiva el nombres naturals, els quadrats o els nombres primers, respectivament. Les corresponents proves són de Champer- nowne (1933), Besicovitch (1935), i Copeland i Erdös (1946). Si π fos normal, en particular la proporció de qualsevol dels deu dígits a les seves xifres decimals seria 1/10. Les comprovacions que s'han fet ns el moment semblen recolzar la conjectura. Per exemple, segons els càlculs de Kanada de 1995 (veure [32, Cap. 10]), les primeres 6 × 109 xifres decimals mostren les freqüències següents: “0” ∶ 599 963 005, “5” ∶ 600 017 176, “1” ∶ 600 033 260, “6” ∶ 600 016 588, “2” ∶ 599 999 169, “7” ∶ 600 009 044, “3” ∶ 600 000 243, “8” ∶ 599 987 038, “4” ∶ 599 957 439, “9” ∶ 600 017 038. √ Tampoc se sap si 2 o e són normals. Conjectura sobre la irracionalitat de γ . El número γ = lim (1 + + + ⋯ + − ln(n)) 1 1 1 n→∞ 2 3 n és irracional. La constant γ s'anomena constant d'Euler o d'EulerMascheroni i és, conjunta- ment amb π, e, i el nombre d'or Φ, una de les més famoses dins de les matemàtiques. El seu nom prové dels estudis del matemàtic italià Lorenzo Mascheroni, qui el 1790 la CONJECTURES 23 va calcular amb dinou xifres decimals correctes, i dels de Gauss, qui l'any 1812 la va obtenir amb quaranta xifres signicatives. El seu valor aproximat és γ ≈ 0.577218. És un número que apareix a moltíssims llocs, vegeu [56, 70]. Veiem uns quants exemples: ∞ ∞ γ = −∫ e−x ln2 (x) dx = γ 2 + π2 e−x ln(x) dx, ∫0 , 0 6 o ∞ ∞ γ = ∑ (−1)k ζ(k) = ∑ ζ(k) 1 on k , k=2 k n=1 n i ζ és la famosa funció zeta de Riemann. Gronwall ([51]) el 1913 prova = eγ , σ(n) lim sup n→∞ n ln(ln(n)) on recordem que σ(n) denota la suma de tots els divisors de n. Se sap π, e, i Φ són irracionals. Intentar provar que γ també és irracional és un dels grans reptes per a la comunitat matemàtica. S'ha demostrat que si fos racional el seu denominador hauria de ser més gran que 10244663 . A [105] es desenvolupen criteris per intentar provar-ho. Una altra constant famosa és la constant de Catalan, ∞ (−1)n G=∑ = 1 − 2 + 2 − 2 + ⋯ = 0.915965594 . . . 1 1 1 n=0 (2n + 1) 2 3 5 7 S'anomena així en honor al matemàtic franco-belga Eugène C. Catalan, qui en un article de 1883 ja la va denotar per G. Apareix sovint a treballs sobre combinatòria. Es pensa que G és irracional, però aquest fet no s'ha pogut demostrar. Més en general, G = β(2) on β és l'anomenada funció beta de Dirichlet: ∞ (−1)n β(s) = ∑ n=0 (2n + 1) s . Per una banda, per exemple, β(1) = π/4, β(2) = π 3 /32 són irracionals. Per altra banda, tot i que com ja hem dit no s'ha pogut demostrar que β(2) ho sigui, hi ha un resultat molt curiós en aquesta direcció ([112]): com a mínim, un dels sis números β(2k), k = 1, 2, . . . , 6 és irracional. De fet, ns fa poc s'intentava demostrar la que es coneixia com conjectura de Catalan, proposada per ell el 1884. Aquesta arma que els dos únics números naturals positius consecutius que són potencies naturals d'un número natural són el 8 = 23 i el 9 = 32 . El 2002, aquesta conjectura es va convertir en un teorema degut al treball [80] del matemàtic romanès Preda Mihailescu. Conjectura sobre la seqüència de Kolakoski. Si considerem la seqüència auto-generada de Kolakoski K = 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, . . . , K aleshores = . número d'uns entre els n primers termes de 1 lim n→∞ n 2 Comencem explicant que vol dir la seqüència K sigui auto-generada. A partir d'una seqüència qualsevol S formada només per successius 1's i 2's, en construïm una altra 24 ARMENGOL GASULL S′ formada pels números naturals que corresponen al número de vegades consecuti- ves que surt cadascun dels dígits, en el mateix ordre en el apareixen a la seqüència. Per exemple, S = 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, . . . Ô⇒ S ′ = 1, 3, 4, 1, 1, 1, 3, 1, . . . ′ La seqüència és diu auto-generada si S = S′ i per tant (S ′ ) = S. Clarament, en una seqüència auto-generada no hi ha ni més de dos 1 ni més de dos 2 consecutius. Pensant una mica no és difícil veure que n'hi ha només una que comenci amb 1, que es denota per K, que és va auto-generant i que els seus primers termes són els de l'enunciat de la conjectura. Així, K′ = K. La que comença amb 2 no és més que la mateixa K sense el primer 1. És un problema obert trobar una expressió explícita per al seu terme enèsim. A molts llocs es coneix també com seqüència d'OldenburgerKolakoski. El seu nom és degut a l'artista i acionat a la matemàtica recreativa nord-americà W. Kolakoski, qui la va descriure el 1965, tot i que ja l'havia considerat el 1939 el matemàtic i enginyer, també nord-americà, R. Oldenburger. A [86] es prova que existeix un N tal que K sup ∣ − ∣ ≤ 0.00008, número d'uns entre els n primers termes de 1 n≥N n 2 resultat que és coherent amb la conjectura, tot i que ni tan sols prova que el limit que es vol calcular existeix. Hi ha seqüències de Kolakoski en altres alfabets. Per exemple, usant només 1's i 3's tenim 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, . . . , i també es poden usar alfabets amb més números. Conjectura de Frankl. Sigui F una familia nita no trivial de conjunts nits de manera que si A, B ∈ F es compleix que A ∪ B ∈ F. Aleshores hi ha un element que pertany com a mínim a la meitat dels conjunts de F. Les families de conjunts F complint aquesta propietat s'anomenen families tan- cades per la unió. Que la familia sigui no trivial, senzillament vol dir que té algun element més que el conjunt buit. Aquesta conjectura va ser proposada el 1979 pel matemàtic hongarès Péter Frankl. Hi ha casos especials en els que la prova és senzilla. Per exemple, suposem que F té un conjunt C = {x} que té un sol element. Siguin A1 , A2 , . . . , Ak tots els elements de F que no contenen x. Aleshores Aj ∪{x}, j = 1, 2, . . . , k, també han de ser elements de F i, òbviament contenen a x. Per tant, com a mínim la meitat dels elements de F contenen x. Se sap també que la conjectura és certa per exemple per a families formades com a màxim per 46 conjunts ([95]) o per a families en les que la unió de tots els seus conjunts té com a molt 11 elements ([13]). Conjectura de Toeplitz. Qualsevol corba plana, contínua, tancada i simple conté quatre punts que són els vèrtexs d'un quadrat. Recordem que una corba plana, contínua, tancada, i simple ve donada per una f ∶ S1 → R2 i s'anomena corba de Jordan, en honor aplicació contínua i injectiva al matemàtic francès Camille Jordan. Aquesta conjectura va ser proposada pel CONJECTURES 25 matemàtic alemany Otto Toeplitz l'any 1911 i de vegades també és coneguda com la conjectura del quadrat inscrit, vegeu la Figura 11. Podeu consultar molta informació . sobre la mateixa a l'excel lent survey [78]. En particular se sap que és certa si la corba envolta un conjunt convex (és a dir, tal que donats dos punts qualssevol del mateix, el segment que els uneix està totalment contingut al cos), si ve donada per una funció dos cops derivable amb continuïtat, o si està formada per un número nit de trossos analítics, de manera que cada tros té un número nit de punts d'inexió o altres singularitats i als punts de no analiticitat, les derivades per la dreta i l'esquerra existeixen. Així, en particular és certa per a tots els polígons. Es pot veure que els triangles obtusangles admeten un sol quadrat inscrit, els rectangles dos, i els acutangles exactament tres. Figura 11. Un quadrat inscrit. Hi ha resultats provats quan en comptes d'un quadrat es busca una altra gura inscrita. Per exemple Nielsen ([85]) prova el 1995 que hi ha molts rombes i paral- lelograms inscrits. Per altra banda, Meyerson ([79]) inclou al seu treball una prova basada en una conferència de Vaughan de 1977 de la existència d'un rectangle inscrit per a tota corba de Jordan. La prova és molt maca i està basada en eines purament topològiques. Conjectura d'ErdösSzekeres. Per a tot 2 < n ∈ N, el mínim número de punts al pla, de manera que mai tres d'ells estan alineats, per tal que sempre n'hi ha hagi n que són els vèrtexs d'un polígon convex de n costats és f (n) = 2n−2 + 1. Aquest problema, sense donar l'expressió general de f (n), sembla ser que va ser proposat i resolt per a n = 5 per la matemàtica australiana-hongaresa Esther Klein el 1933 en un seminari. L'existència d'una f (n) i la conjectura per a la seva expressió explícita es deuen al treball de 1935 ([41]) de Paul Erdös i del també matemàtic australià hongarès George Szekeres, qui va acabar casant-se amb Klein (després Esther Szekeres). La solució per a n = 5, ja apareix al treball de 1935, atribuïda a E. Makai. Curio- sament el 2006, de nou Szekeres i Peters ([106]) proven la conjectura per a n = 6. És probablement el cas d'interval de temps més llarg entre dues publicacions matemà- tiques del mateix autor i sobre el mateix tema: 70 anys. De fet, el treball és pòstum 26 ARMENGOL GASULL Figura 12. Una situació de la conjectura d'ErdösSzekeres per a n=6 amb 17 punts. ja que George Szekeres va morir el 2005. També és conegut que, per a tot n, amb menys punts segur que es poden distribuir complint l'altra hipòtesi de manera que no sigui possible construir el desitjat polígon. Conjectura del billars triangulars. En un billar triangular sempre hi ha una trajectòria periòdica. Comencem prenent un billar convex tal que la seva vora ve donada per una corba diferenciable i amb derivada continua. Considerem les trajectories d'una bola pun- tual que es mou sense fregament i que rebota a les vores de la manera natural, és a dir de manera que l'angle d'incidència és igual a l'angle de reexió. És conegut que sempre hi ha trajectòries periòdiques ([64]). El número de vegades que una trajectòria periòdica toca la vora s'anomena el seu període. Figura 13. Trajectòries de període 3 i 6 en un billar triangular acutangle. Si prenem un billar convex, però de manera que la seva vora és un polígon, té sentit plantejar-se si també serà cert que sempre hi ha una trajectòria periòdica. Per aquests billars, si en algun moment la bola toca uns dels vèrtexs de la vora es considera la trajectòria per acabada, i per descomptat no periòdica. El que és curiós és que ns i tot per a billars triangulars aquesta qüestió és un problema obert. CONJECTURES 27 Comentem alguns casos particulars de billars triangulars en els que se sap que la conjectura és certa. Per exemple, quan la vora és un triangle acutangle sempre hi ha una trajectòria periòdica de període 3. Aquesta trajectòria està formada pel triangle que té com a vèrtexs els punts base a les vores de les tres alçades, vegeu la Figura 13. Molta de la informació que donem està extreta del treballs [66], que està dedicat als microlasers triangulars orgànics, i de [4, 54]. De vegades es diu a aquesta trajectòria de Fagnano, en honor al matemàtic italià Giulio Fagnano qui ja la va trobar el 1775 per resoldre un altre problema: buscar el triangle inscrit en un triangle acutangle amb mínima longitud. La conjectura també és certa per a triangles rectangles ([27, 46, 47, 61]), per a triangles isòsceles ([27]), per a triangles obtusangles en els que cap angle té més de 100 graus ([100]), per a altres triangles obtusangles ([54]), i per a triangles racionals ([12]). Recordem que un triangle es diu racional si tots els seus angles són múltiples racionals de π. Conjectura del sofà més gran. L'àrea màxima d'un sofà pla que pot lliscar per un passadís pla d'amplada 1 amb forma de L és S0 = 2.219531 . . . Aquest problema va ser proposat pel matemàtic austríac-canadenc Leo Moser el 1966. Matemàticament un sofà serà qualsevol gura plana connexa amb àrea ben denida. En el treball [97] es poden trobar més referències i detalls sobre el tema i és el que hem consultat per a la breu explicació que segueix. Observem que la conjectura que presentem només dóna les primeres xifres signicatives de S0 . Figura 14. Sofas simples i sofà de Hammersley. És fàcil trobar sofàs d'àrea 1 (quadrat) i d'àrea π/2 (semicircular) que poden travessar el passadís. El primer sofà amb una mica de mèrit és conegut com sofà de Hammersley i té àrea π/2 + 2/π ≈ 2.2074. Aquest s'assembla al perl de l'auricular d'un telèfon x i està format per un rectangle de mides 1 × 4/π, al que se li ha tret un semicercle de radi 2/π, i se li han afegit dos quarts de cercle de radi 1 als costats, vegeu la Figura 14. Observeu que la seva vora està formada per 6 trossos de corbes algebraiques. El conegut com sofà de Gerver és una petita variació del de Hammersley, és a dir té una forma semblant, però en aquest cas la seva vora esta formada per 18 trossos de corbes analítiques de les quals 3 són rectes i 15 venen donades com solucions d'un sistema no-lineal de quatre equacions. Aquestes corbes també es poden veure com solucions de certes equacions diferencials. Les primeres xifres decimals de l'àrea del sofà de Gerver són les que proposa la conjectura. 28 ARMENGOL GASULL √ El 1968, Hammersley ja va demostrar que S0 ≤ 2 2 ≈ 2.8284 i el 2017, Kallus i Romik van millorar el seu resultat, provant que S0 ≤ 2.37. Una qüestió que recorda molt a la conjectura del sofà és l'anomenat problema de Kakeya, proposat el 1917 pel matemàtic japonès Soichi Kakeya. La nostra principal font és el capítol The nite Kakeya problem de l'interessant llibre [1]. Kakeya es preguntava quin era el subconjunt més petit del pla en el que una agulla de longitud 1 pot girar sense sortir d'ell fent una volta completa. La matematització de la paraula girar és que els moviments de l'agulla siguin continus. Pensant una mica, és clar √ que ho pot fer en un disc de diàmetre 1 (àrea π/4 ≈ 0.785) o en un triangle equilàter d'alçada 1 (àrea 3/3 ≈ 0.577). De fet, Juluis Pal el 1920 va demostrar que aquest triangle és la gura convexa de mínima àrea que ho permet. Però sembla ser que el mateix Kakeya ja va trobar una gura no convexa d'àrea més petita. Concretament, una gura amb vora una corba anomenada deltoide, amb àrea π/8 ≈ 0.393, que ve donada pels punts del pla que compleixen (x2 + y 2 )2 − 2x(x2 − 3y 2 ) + (x2 + y 2 ) − = 0, 9 27 8 256 vegeu la Figura 15. La gran sorpresa va ser quan el matemàtic rus Abram S. Besicovitch el 1928 va trobar conjunts complicats, amb molts forats i diàmetres grans, que permetien fer-ho i tenien àrea tan petita com es volgués. Més endavant Cunningham ([30]) va aconseguir provar el mateix però amb conjunts sense cap forat i que cabien dins d'un cercle de diàmetre 2. Figura 15. Corba deltoide. En els seus treballs, Besicovitch va començar a tractar un problema relacionat, denint un conjunt de Kakeya (avui en dia també conegut com conjunt de Besico- vitch) com un subconjunt de Rn , n ≥ 2 que conté el segment unitat (l'agulla) en totes les orientacions possibles. Observi's que s'ha eliminat la hipòtesi de que l'agulla s'ha de moure contínuament i es considera el problema en dimensió arbitraria. Aleshores Besicovitch va demostrar el sorprenent resultat de que per a tot n ≥ 2, hi ha conjunts de Kakeya amb mesura 0. Per a distingir millor entre tots els conjunts que tenen la mateixa mesura, el 1918 el matemàtic alemany Felix Hausdor va introduir el que avui en dia s'anomena dimensió de Hausdor, o també, dimensió de HausdorBesicovitch. No entrarem en detalls sobre la seva denició; simplement comentarem que, donat un conjunt C ⊂ Rn , el fet que aquesta dimensió, que com a molt és n, no sigui un enter és una de les condicions per a que C sigui el que s'anomena un conjunt fractal. Per exemple, CONJECTURES 29 els conjunts numerables tenen mesura 0 i dimensió de Hausdor 0, i el famós conjunt de Cantor, contingut a R, té mesura 0 i dimensió de Hausdor ln(2)/ ln(3) ≈ 0.63. Per més detalls consulteu [44]. L'anomenada arma per a tot 2 ≤ n ∈ N la dimensió de conjectura de Kakeya Hausdor de tot conjunt de Kakeya a Rn és n. Aquesta conjectura només ha estat provada per a n = 2. Si fos certa ens diria que tot i que els conjunts de Kakeya poden tenir mesura 0, la seva dimensió de Hausdor és la més gran possible, o en altres paraules, que estan molt plens de punts. Conjectura de LeviHadwiger. Qualsevol cos convex inclos a Rn es pot cobrir per 2n o menys copies homotètiques (més petites) d'ell mateix. A més, només se'n . necessiten 2n si el cos és un paral lelepípede. Recordem que un cos es diu que és convex, si donats dos punts qualssevol del mateix, el segment que els uneix està totalment contingut al cos. Aquesta conjectura va ser proposada independentment el 1955 pel matemàtic alemany Friedrich W. Levi i el 1957 pel matemàtic suïs Hugo Hadwiger. De fet, el mateix Levi ([76]) va demostrar que la conjectura és certa per a n = 2. Figura 16. Cobriments amb 3 i 4 copies homotètiques a R2 tal com arma la conjectura de LeviHadwiger, ja provada al pla. Aquesta conjectura i moltes altres sobre el que s'anomena Geometria Discreta es poden consultar a la monograa [14]. 4. Utilitat didàctica i pràctica de les conjectures El matemàtic britànic-libanès Michael F. Atiyah, en el seu llibre [3] comenta: Alguns problemes obren portes, alguns les tanquen i altres queden com curiositats, però tots ells aguditzen el nostre enginy, actuen com reptes a la nostra inventiva i posen a prova els nostres coneixements. Aquesta armació es pot aplicar sens dubte a les conjectures matemàtiques. No puc deixar de parlar en aquest punt d'un exemple recent de conjectura lúdica i que té petites semblances amb les conjectures sobre la màxima persistència multi- plicativa i la de no palindromia. Basant-se en una conversa entre els protagonistes 30 ARMENGOL GASULL del la famosa sèrie televisiva de la CBS, The Big Bang Theory, el 2015 a [17] el autors van introduir el que van anomenar conjectura de Sheldon, en honor al perso- natge Sheldon Cooper. Per a enunciar-la denirem el que és un primer de Sheldon. Recordem que, com en tot el treball, pn denota el primer enèsim. ● Direm que pn compleix la propietat del producte si Π(pn ) = n, on Π(k) és el producte de les xifres de k. Per exemple, p21 = 73 i Π(73) = 21. ● Direm que pn compleix la propietat del mirall si rev(pn ) = prev(n) , on recordem que rev(k) denota l'aplicació que inverteix l'ordre de les xifres de k. Per exemple, rev(p21 ) = rev(73) = 37 i prev(21) = p12 = 37. Un primer és un primer de Sheldon si compleix les dues propietats anteriors. Per exemple, 73 ho és. La conjectura armava que 73 era l'únic primer de Sheldon i va ser provada el 2019 a [90]. De fet, en el seu treball els autors proposen una nova conjectura: els únics primers que compleixen la propietat del producte són p7 = 17, p21 = 73 i p181 440 = 2 475 989. Observem que 2 × 4 × 7 × 5 × 9 × 8 × 9 = 181 440. Al mateix treball es suggereix que segurament hi ha innits nombres primers que complexen la propietat del mirall. Com veiem, el món de les conjectures no s'acaba mai. A més, a la sèrie de televisió, Sheldon arma que 73 és el millor número natural del món, ja que 73 també és capicua en base 2, 73 = 100 1 0012 . Totes les conjectures de les dues primeres seccions, i també alguna de les que apareixen a la darrera secció, tenen una cosa en comú: ràpidament ens venen ganes de comprovar-les per números petits o casos particulars. Un segon pas, molt natural, és que pensem en fer un programa que vagi més enllà del que hem pogut fer amb paper i llapis. Jo mateix, un dels primers programes que vaig fer, ja fa més de 40 anys, va ser per buscar nombres perfectes. De fet, aquesta segona opció és molt bona per intentar demostrar que certes conjectures són falses, però mai ens donarà cap demostració. Les conjectures presentades en aquest treball han estat testades per moltíssima gent, i amb els ordinadors més potents, i de moment resisteixen com a conjectures. De fet, de ben segur que cada cop que apareixen ordinadors més potents hi ha gent que intenta buscar contraexemples de moltes d'elles. Exposàrem a continuació uns quants exemples en els que s'ha d'arribar cada cop més lluny per veure que una determinada propietat no és certa. N'apareixen molts més a [8, 52]. Aquests serveixen per consolidar la idea de que per molt lluny que puguem arribar fent càlculs, mai podrem estar segurs que un resultat és cert si no trobem una demostració del mateix. Comencem per un de molt senzill: el polinomi P (n) = n2 + n + 41, donat per Euler el 1772, proporciona valors primers per a n = 0, 1, 2, . . . , 38, 39. Així, P (0) = 41 i P (39) = 1601 són primers. Ara bé, P (40) = 40 × 41 + 41 = 412 . Un altre polinomi que dóna valors primers per a n = 0, 1, . . . , 79, és n2 − 79n + 1601, tot i que només dóna 40 nombres primers diferents. Això és degut a que Q(n) = n2 − 79n + 1601 = (n − 40)2 + (n − 40) + 41 i a que, com va observar Legendre el 1798, el polinomi n2 − n + 41, també dóna valors primers per a n = 0, 1, 2, . . . , 38, 39 i, a més, proporciona els mateixos primers que el polinomi d'Euler. Per aquest nou polinomi Q(80) = 412 ja no és primer. CONJECTURES 31 Continuem amb un exemple sorprenent sobre el valor de certes integrals impròpies i convergents, veure [10, 99]. Es pot demostrar que ∞ Jn = ∫ 2 cos(x) ∏ sinc ( ) dx = , n = 1, 2, . . . , 56, n x π 2k − 1 si 0 k=1 2 però J57 < π/2, tot i que J57 és molt proper a π/2. La funció sinc(x) = sin(x)/x té nom propi, degut a la seva aparició freqüent al processament digital de senyals i en la teoria de la informació, i es coneix com sinus cardinal. Integrals similars a Jn se solen anomenar integrals de Borwein degut a que els germans Borwein, matemàtics escocesos contemporanis, van mostrar per primer cop aquest tipus de fenomen ([10]). Avui en dia hi ha exemples d'integrals de Borwein depenent d'un paràmetre n que es mantenen constants ns un valor de n, amb més de 40 dígits, i després canvien de valor. En l'exemple presentat, es demostra que la raó del canvi per n = 57 és que 2.994 ≈ ∑ =1+ +⋯+ <3<∑ =1+ +⋯+ ≈ 3.003. 56 57 1 1 1 1 1 1 k=1 2k − 1 3 111 k=1 2k − 1 3 113 Un tercer exemple ens el proporciona una de les anomenades carreres de primers, vegeu [49]. Dividim en dos equips els nombres primers: equip E1 format pels de la forma 3n + 1 i equip E2 , format pels de la forma 3n + 2. Així, E1 = (7, 13, 19, . . .) i E2 = (2, 5, 11, 17, . . .). Si, per a j = 1, 2 denim πj (x) = número de primers a Ej menors o iguals que x, la qüestió consisteix en saber, a mesura que x augmenta, si una de les dues funcions és sempre més gran que l'altra. És clar que π(x) = π1 (x) + π2 (x) + 1, ja que 3 no és a cap dels dos equips. Aquesta carrera és molt disputada, ja que se sap que π1 (x) = 1. π2 (x) lim x→∞ Aquest resultat és també cert en general quan es comparen primers de les formes An + B i An + C, amb A, B coprimers i A, C coprimers. Clarament és, a més, més fort que el de Dirichlet, el qual hem esmentat quan parlàvem sobre les conjectures que busquen nombres primers amb expressions concretes. En el cas que ens ocupa, per exemple, l'equip E2 comença guanyant i continua guanyant durant força temps: π2 (100) = 13 > 11 = π1 (100) o π2 (105 ) = 4807 > 4784 = π1 (105 ). De fet, la desigualtat es manté ns a x = 608 981 813 029, valor en el que el equip E1 es posa per davant per primer cop. Se sap que cap dels dos equips guanya la cursa ja que van alternant indenidament la seva posició. Una situació semblant es presenta quan es comparen les funcions π(x), que recor- dem compta el número de primers menors o iguals que x, amb la funció logaritme integral li(x) = ∫ dt = lim+ {∫ dt + ∫ 1 x 1−ε 1 x 1 dt} . 0 ln(t) ε→0 0 ln(t) 1+ε ln(t) El mateix Gauss, amb 15 anys, el 1796 va demostrar que π(x) < li(x) per x < 3 × 106 . Durant més de cent anys es va pensar que la desigualtat es mantenia per a tot x > 0, ns que el 1914, Littlewood ([77]) va demostrar que π(x) − li(x) canvia de signe innits cops quan x tendeix a innit. Les tes superiors pel primer valor de x pel qual la funció π(x) − li(x) s'anul.la s'anomenen nombres de Skewes en honor al 32 ARMENGOL GASULL matemàtic sud-africà Stanley Skewes, qui al 1955 va donar la primera ta explicita, que era un número immens ([103]). Avui en dia la millor ta explicita té més de 300 dígits i al seu voltant la funció resta té més de 10150 zeros ([7]). Aquestes tes es poden obtenir a partir d'un resultat clau de 1966 de Lehman ([72]) que usa que tots els zeros no trivials de la funció zeta de Riemann, amb part imaginària menor que un cert valor, tenen part real 1/2. Intuïtivament, com més gran és aquest valor, més petit és el nombre de Skewes obtingut. Els dos últims exemples són també força espectaculars. En el primer d'ells ens preguntem si és cert o no que n17 + 9 i (n + 1)17 + 9 són primers entre si. Resulta que ho són per a tot n < N. En canvi, per n = N, on N = 8424432925592889329288197322308900672459420460792433 té 51 xifres, no ho són. De fet, tenen un màxim comú divisor m també de 51 xifres, on m = Resn (n17 + 9, (n + 1)17 + 9) i Resn denota la resultant dels dos polinomis respecte a n. Per més detalls, vegeu [45]. En l'últim exemple estudiem si per a tot 0 li(x). Mathematics of Computation, 69 (2000), 12851296. [8] A. Barahmand, On Mathematical Conjectures and Counterexamples. Journal of Humanistic Mathematics 9 (2019), 295303. [9] B. C. Berndt, W. F. Galway, The BrocardRamanujan diophantine equation n! + 1 = m2 . The Ramanujan Journal 4 (2000), 4142. [10] D. Borwein, J. M. Borwein, Some remarkable properties of sinc and related integrals. The Ramanujan Journal 5 (2001), 7389. [11] J. M. Borwein, M. S. Macklem, The (digital) life of Pi, Austral. Math. Soc. Gaz. 33 (2006), 243248. [12] M. Boshernitzan, G. Galperin, T. Krüger, S. Troubetzkoy, Periodic billiard orbits are dense in rational polygons. Transactions of the American Mathematical Society 350 (1998), 35233535. [13] I. Bo²njak, P. Markovi, The 11-element case of Frankl's conjecture. Electronic Journal of Combinatorics. 15 (2008), R88. 34 ARMENGOL GASULL [14] P. Brass, W. O. J. Moser, J. Pach, Research Problems in Discrete Geometry, Springer-Verlag New York 2005. [15] A. Brousseau, Palindromes by Addition in Base Two. Mathematics Magazine 42 (1969), 254 256. [16] V. Brun, La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ⋯ où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou nie. Bull. des Sci. Mathématiques 43 (1919), 100104, 124128. [17] J. Byrnes, C. Spicer, A. Turnquist, The Sheldon conjecture. Math Horizons. 23 (2015), 1215. [18] R. D. Carmichael, On Euler's f-function. Bulletin of the American Mathematical Society 13 (1907), 241243. [19] R. D. Carmichael, Note on Euler's f-function. Bulletin of the American Mathematical Society 28 (1922), 109110. [20] E. Casas-Alvero, Higher order polar germs. J. Algebra 240 (2001), 326337. [21] Interview to E. Casas-Alvero in Spanish. https://www.gaussianos.com/la-conjetura-de-casas- alvero-contada-por-eduardo-casas-alvero/ [22] W. Castryck, R. Laterveer, M. Ounaïes, Constraints on counterexamples to the Casas-Alvero conjecture and a verication in degree 12. Mathematics of Computation 83 (2014), 30173037. [23] M. Chamberland, A continuous extension of the 3x+1 problem to the real line, Dynam. Contin. Discrete Impuls Systems. 2 (1996), 495509. [24] M. Chamberland, Una actualizacio del problema 3x + 1. But. Soc. Catalana de Matemàtiques 18 (2003), 1945. [25] J. R. Chen, On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sci. Sinica 16 (1973), 157176. [26] J. R. Chen, On the Distribution of Almost Primes in an Interval. Sci. Sinica 18 (1975), 611 627. [27] B. Cipra, R. M. Hanson, A. Kolan, Periodic trajectories in right-triangle billiards. Phys. Rev. E 52 (1995), 20662071. [28] J. H. Conway, On Unsettleable Arithmetical Problems. The American Mathematical Monthly 120 (2013), 192198. [29] A. Cunnningham, On hyper-even numbers and on Fermat's numbers. Proc. Lond. Math. Soc. 5 (1907), 237274. [30] F. Cunningham, Jr., The Kakeya Problem for Simply Connected and for Star-Shaped Sets. The American Mathematical Monthly 78 (1971), 114129. [31] E. de Faria, C. Tresser, On Sloane's Persistence Problem. Experimental Mathematics 23 (2014), 363382. [32] J.-P. Delahaye, Le fascinant nombre π. Bibliothèque Scientique. Belin-Pour la Science, Paris, 1997. [33] G. M. Díaz-Toca, L. González-Vega, On analyzing a conjecture about univariate polynomials and their roots by using Maple. A Maple conference 2006. Proc. of the conference, Waterloo, Ontario, Canada, July 2326, 2006. Waterloo: Maplesoft, 2006, p. 8198. [34] L. E. Dickson, A new extension of Dirichlet's theorem on prime numbers, Messenger of mat- hematics 33 (1904), 155161 [35] Diversos autors, Suites & séries. Bibiliothèque Tangente HS 41. Éditions POLE 2011. [36] J. Draisma, J. P. de Jong, On the Casas-Alvero conjecture. Eur. Math. Soc. Newsl. 80 (2011), 2933. [37] M. du Sautoy, The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathe- matics. HarperCollins, New York 2003. [38] R. J. Dwilewicz, J. Minác, Values of the Riemann zeta function at integers. Materials Mate- màtics 2009, treball 6, 26 pp. [39] C. Elsholtz, Sums of k unit fractions. Transactions of the American Mathematical Society 353 (2001), 32093227. [40] P. Erdös, Über die Reihe ∑ 1/p. Mathematica , Zutphen B 7 (1938), 12. [41] P. Erdos, G. Szekeres, A combinatorial problem in geometry, Compositio Mathematica 2 (1935), 463470. CONJECTURES 35 [42] A. van den Essen, To believe or not to believe: the Jacobian Conjecture Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino 55, Jacobian Conj. and Dyn. Syst. (1997), 283290. [43] A. van den Essen, Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture, Progress in Mat- hematics, 190, Basel: Birkhäuser Verlag 2000. [44] K. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley and Sons, 2003. [45] P. E. Frenkel, J. Pelikán, On the Greatest Common Divisor of the Value of Two Polynomials. The American Mathematical Monthly 124 (2017), 446-450. [46] G. A. Gal'perin, A. M. Stepin, Y. B. Vorobets, Periodic billiard trajectories in polygons. Russian Math. Surveys, 46 (1991), 204205. [47] G. A. Gal'perin, A. M. Stepin, Y. B. Vorobets, Periodic billiard trajectories in polygons: Generation mechanisms. Russian Math. Surveys 47 (1992), 580. [48] H.-C. Graf von Bothmer, O. Labs, J. Schicho, C. van de Woestijne. The Casas-Alvero conjec- ture for innitely many degrees. J. Algebra 316 (2007), 224230. [49] A. Granville, G. Martin. Prime Number Races. The American Mathematical Monthly 113 (2006), 133. [50] C. A. Grimm, A conjecture on consecutive composite numbers. The American Mathematical Monthly 76 (1969), 11261128. [51] T. H. Gronwall, Some asymptotic expressions in the theory of numbers. Transactions of the American Mathematical Society 14 (1913), 113122. [52] R. K. Guy, The Strong Law of Small Numbers. The American Mathematical Monthly 95 (1988), 697712. [53] R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (2nd ed.), New York: Springer-Verlag 1994. [54] L. Halbeisen, N. Hungerbühler, On Periodic Billiard Trajectories in Obtuse Triangles. SIAM Review 42 (2000), 657670. [55] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Some Problems of Partitio Numerorum. III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes. Acta Math. 44 (1923), 170. [56] J. Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press 2003. [57] J.-B. Hiriart-Urruty, Le rôle des conjectures dans l'avancement des mathématiques: tours et détours à l'aide d'exemples. QUADRATURE 83 (2012), 2733. Traduït al castellà a: El papel de las conjeturas en el avance de las matemáticas. SUMA+ 69 (2012), 8392. [58] J.-B. Hiriart-Urruty, Les nombres entiers : des amis qui nous posent des problèmes. Mémoires de l'Académie des Sciences, Inscriptions et Belles-Lettres de Toulouse 176 (2014), 199210. [59] J.-B. Hiriart-Urruty, Conjecturez, conjecturez. . . il en restera toujours quelque chose. TAN- GENTE 168 (2016), 1011. [60] J.-B. Hiriart-Urruty, Conjecturer en mathématiques. . . comme Fermat? Xerrada a la jornada Nouveaux regards sur Pierre (de) Fermat del 18 de Juny de 2018. Per aparèixer a Mémoires de l'Académie des Sciences, Inscriptions et Belles-Lettres de Toulouse. [61] F. Holt, Periodic reecting paths in right triangles. Geom. Dedicata 46 (1993), 7390. [62] J. H. Jaroma, On expanding 4/n into three Egyptian fractions. Crux Mathematicorum 30 (2004), 3637. [63] J. H. Jaroma, Note on the LucasLehmer Test. Irish Math. Soc. Bulletin 54 (2004), 6372. [64] A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the Mod- ern Theory of Dynamical Systems, Cam- bridge University Press, Cambridge, 1995. [65] D. Khoshnevisan, Normal numbers are normal. Clay Mathematics Institute Annual Report 2006, p. 15 (continued on pp. 2731). [66] C. Lafargue & others, Localized lasing modes of triangular organic microlasers. Phys. Rev. E 90 (2014) 052922. [67] J. C. Lagarias, The 3x + 1 problem and its generalizations, The American Mathematical Monthly 92 (1985), 323. [68] J. C. Lagarias, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis. The American Mathematical Monthly 109 (2002), 534543. [69] J. C. Lagarias, The ultimate challenge: the 3x + 1 problem. Providence, R.I.: Publications of the American Mathematical Society, 2010. 36 ARMENGOL GASULL [70] J. C. Lagarias, Euler's constant: Euler's work and modern developments. Bulletin of the the American Mathematical Society 50 (2013), 527628. [71] L. J. Lander, T. R. Parkin, Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers. Bulletin of the American Mathematical Society 72 (1966), 1079. [72] R. S. Lehman, On the dierence π(x) − li(x). Acta Arithmetica, 11 (1966) 397410. [73] D. Lehmer, Sujets d'étude. Sphinx, Bruxelles, 8 (1938), 1213. [74] H. W. Lenstra Jr, Solving the Pell Equation. Notices of the American Mathematical Society, 49 (2002), 182192, [75] S. Letherman, D. Schleicher, R. Wood, The (3n + 1)-Problem and Holomorphic Dynamics, Experimental Mathematics. 8 (1999), 241252. [76] F. W. Levi, Überdeckung eines Eibereiches durch Parallelverschiebungen seines oenen Kerns, Archiv der Mathematik 6 (1955), 369370. [77] J. E. Littlewood, Sur la distribution des nombres premiers. Comptes Rendus 158 (1914), 18691872. [78] B. Matschke, A Survey on the Square Peg Problem. Notices of the American Mathematical Society 61 (2014), 346352. [79] M. D. Meyerson, Balancing acts. Topology Proc. 6 (1981), 5975. [80] P. Mihailescu, Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture. J. reine angew. Math. 572 (2004) 167195. [81] W. Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory, Springer-Verlag, New York, 2000. [82] J. F. Nash, M. Th. Rassias. Open Problems in Mathematics. Springer, New York, 2016. [83] T. R. Nicely, Enumeration to 1.6 ∗ 1015 of the twin primes and Brun's constant. Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory), 1999. [84] A. Nicolau, Números Normals. Materials Matemàtics 2016, treball 1, 13 pp. [85] M. J. Nielsen, Rhombi inscribed in simple closed curves. Geometriae Dedicata 54 (1995), 245 254. [86] J. Nilsson, Letter Frequencies in the Kolakoski Sequence. Acta Physics Polonica A 126 (2014), 549552. [87] Y. Nishiyama, Numerical palindromes and the 196 problem. International Journal of Pure and Applied Mathematics 80 (2012), 375384. [88] P. Ochem, M. Rao, Odd perfect numbers are greater than 101500 . Mathematics of Computation. 81 (2012), 18691877. [89] M. Overholt, The diophantine equation n! + 1 = m2 . Bull. London Math. Soc. 25 (1993), 104. [90] C. Pomerance, C. Spicer, Proof of the Sheldon Conjecture. The American Mathematical Monthly 126 (2019), 688698. [91] J. Quer, La funció ζ de Riemann. Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques 22 (2007), 197228. [92] P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer-Verlag, New York, 1996. [93] I. Richards, On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes. Bulletin of the American Mathematical Society 80 (1974), 419438. [94] R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman, A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems. Communications of the ACM 21 (1978), 120126. [95] I. Roberts, J. Simpson, A note on the union-closed sets conjecture. Australas. J. Combin. 47 (2010), 265267. [96] G. Rodríguez, Sobre les fraccions 2/p del papir de Rhind. Materials Matemàtics 2010, treball 3, 12 pp. [97] D. Romik, Dierential Equations and Exact Solutions in the Moving Sofa Problem. Experi- mental Mathematics 27 (2018), 316330. [98] M. Rosen, A proof of the LucasLehmer test. The American Mathematical Monthly 95 (1988), 855856. [99] H. Schmid, Two curious integrals and a graphic proof. Elem. Math. 69 (2014), 11-17. [100] R. E. Schwartz, Obtuse Triangular Billiards II: One Hundred Degrees Worth of Periodic Trajectories. Experimental Mathematics 18 (2009), 137171. [101] D. Shanks, A Sieve Method for Factoring Numbers of the Form n2 + l. Math. Tables Aids Comput. 13 (1959), 7886. CONJECTURES 37 [102] D. Shanks, On the Conjecture of Hardy & Littlewood Concerning the Number of Primes of the Form n2 + a. Mathematics of Computation 14 (1960), 321332. [103] S. Skewes, On the dierence π(x) − li(x). Proceedings of the London Mathematical Society 5 (1955), 4870. [104] N. Sloane, The persistence of a number. Journal of Recreational Mathematics 6 (1973), 9798. [105] J. Sondow, Criteria for irracionality of Euler's constant. Proceeding of the American Mat- hematical Society 131 (2003), 33353344. [106] G. Szekeres, L. Peters, Computer solution to the 17-point Erdos-Szekeres problem, ANZIAM Journal 48 (2006), 151164. [107] T. Tao, Every odd integer larger than 1 is the sum of at most ve primes. Mathematics of computation 83 (2014), 9971038. [108] C. W. Trigg, Palindromes by Addition. Mathematics Magazine 40 (1967), 2628. [109] M. Visser, Strong Version of Andrica's Conjecture. International Mathematical Forum 14 (2019), 181188. [110] J. Voight, Perfect Numbers: An Elementary Introduction. Department of Mathematics, Uni- versity of California, Berkeley. California, 10 pp. [111] Y. Zhang, Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics 179 (2014), 11211174. [112] W. Zudilin, Arithmetic of Catalan's constant and its relatives. Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 89 (2019), 4553. Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona E-mail address : gasull@mat.uab.cat