This is a preprint of: “Polinomios estables”, Armengol Gasull, Gac. R. Soc. Mat. Esp., vol. 24(2),
  272, 2021.




                                  Polinomios estables

    Un polinomio p(z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 , ai ∈ R, se denomina estable
si todas sus raíces tienen parte real negativa. La caracterización de estos polinomios
es fundamental en problemas de Teoría de Control o de Sistemas Dinámicos. Así, por
ejemplo, todas las soluciones x = x(t) de la ecuación diferencial lineal homogénea
                            dn x        dn−1 x            dx
                              n
                                 + an−1 n−1 + · · · + a1     + a0 x = 0
                            dt          dt                dt
cumplen lı́mt→+∞ x(t) = 0 si y solo si p es un polinomio estable.
    Que p sea estable equivale a ciertas desigualdades polinómicas entre sus coeficien-
tes, y éstas suelen obtenerse imponiendo la positividad de los menores principales de
una matriz n × n asociada a p, la matriz de Routh-Hurwitz. Nuestro objetivo es pre-
sentar, siguiendo a Strelitz (On the Routh-Hurwitz problem, Amer. Math. Monthly
84 (1977), 542–544), una forma menos conocida de caracterizar los polinomios esta-
bles, que a la postre también permite obtener otras desigualdades equivalentes.
    Sean α1 , α2 , . . . , αn las n raíces de p, considerando cada una de ellas tantas veces
como multiplicidad tenga. Introducimos un segundo polinomio
               Y                           

     q(z) =                 z − (αj + αk ) =: z m + bm−1 z m−1 + · · · + b1 z + b0 ∈ R[z],
             1≤j<k≤n

de grado m = n(n − 1)/2. A continuación demostraremos que p es un polinomio
estable si y solo si todos los coeficientes de p y todos los de q son positivos.
    Para n = 1, 2 no es difícil ver que si p es estable entonces sus coeficientes son
positivos. Como todo polinomio se descompone en producto de polinomios reales de
grado 1 o 2, y el producto de polinomios con coeficientes positivos mantiene esta
propiedad, obtenemos que si p es estable sus coeficientes son positivos. Finalmente,
como p estable implica que q es estable, hemos probado lo mismo para q.
    Vamos a demostrar el recíproco. Si todos los coeficientes de p son positivos es
claro que todas sus raíces reales tienen que ser negativas. Además, sea u ± vi un par
de raíces complejas de p. Entonces (u + vi) + (u − vi) = 2u es una raíz real de q,
y de nuevo, como los coeficientes de q son positivos, obtenemos que 2u < 0 como
queríamos demostrar.
    Finalmente, las fórmulas de Newton-Girard permiten obtener los bj como fun-
ciones polinómicas de los ai , sin necesidad de conocer los αk . La razón es que tanto
los coeficientes de p como los de q son polinomios simétricos en las raíces de p.
Así obtenemos las desigualdades buscadas. Por ejemplo, para n = 3 se obtiene que
q(z) = z 3 + 2a2 z 2 + (a22 + a1 )z + (a1 a2 − a0 ) y, en consecuencia, las condiciones
necesarias y suficientes para que p sea estable son a2 > 0, a1 > 0 y 0 < a0 < a1 a2 .
Armengol Gasull, Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona
Correo electrónico: gasull@mat.uab.cat
Página web: http://www.gsd.uab.cat/personal/agasull