This is a preprint of: “Números de Lychrel y otras preguntas sobre capicúas”, Armengol Gasull,
  Gac. R. Soc. Mat. Esp., vol. 24(3), 532, 2021.




     Números de Lychrel y otras preguntas sobre capicúas

   Dado n0 ∈ N se define inductivamente la sucesión nk+1 = nk + rever(nk ), donde
rever(n) es la aplicación que invierte el orden de las cifras de n escrito en base 10. Si
su órbita O(n0 ) = {nk }k≥0 no contiene ningún capicúa se dice que n0 es un número
de Lychrel. Si O(n0 ) contiene capicúas, y nm es el menor, diremos que H(n0 ) = m.
Conjetura del 196. Hay infinitos números de Lychrel y 196 es el menor de ellos.
    Por ejemplo, O(182) = {182, 463, 827, 1555, 7106, 13123, 45254, . . .}, así que 182
no es un número de Lychrel y H(182) = 6. La primera referencia a este problema
aparece en el trabajo Sujets d’étude de D. Lehmer, publicado en 1938 en la revista
belga Sphinx. El término Lychrel es casi un anagrama de Cheryl, nombre de la pareja
del matemático norteamericano W. Van Landingham, que estudió el problema a
principios del presente siglo. No se sabe si hay números de Lychrel, pero se piensa
que sí y que su densidad aumenta con el número de cifras de n0 .
    Los valores n0 con un máximo de 3 cifras candidatos a ser números de Lychrel son
196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986; y, en particular, para
n0 = 196 no hay ningún capicúa entre los primeros 109 iterados. Es difícil dar valores
n0 para los que H(n0 ) > 100. Por ejemplo, para el resto de los n0 < 1000, H(n0 ) ≤
24, pero tomando n0 = k := 10 989 161 490 503 701 674 050 hemos comprobado que
H(k) = 289. De hecho, y hasta el momento, 289 es el mayor valor encontrado para
la función H. El valor k tiene 23 cifras, como el primer n0 con el mismo valor de H,
dado por A. Stefanov en enero de 2021, pero es un poco menor.
    Diremos que un valor n0 es candidato a ser de Lychrel si ninguno de sus primeros
1000 iterados es capicúa. Para n0 de 3, 4, 5, 6, 7 u 8 cifras, después de varios días
de cálculos obtenemos 13, 236, 5842, 109874, 1897107 o 26792988 candidatos, que
representan, respectivamente, el 1.4 %, 2.6 %, 6.5 %, 12.2 %, 21.1 % o 29.8 % del total.
Para n0 de 18 cifras parece ser que cerca del 90 % de los valores son candidatos.
    Por otro lado, es conocido que hay números de Lychrel cuando se considera la
iteración descrita en otras bases. Por ejemplo, en el trabajo Palindromes by addition
in base two de B. A. Brousseau, publicado en 1969 en Mathematics Magazine, se
prueba que el número, en base dos, 10110 lo es. También se sabe que hay números
de Lychrel en bases 11, 17, 20, 26 y en todas las potencias de 2.
    Otras cuestiones abiertas que involucran capicúas son:
• ¿Hay infinitos primos capicúa? El mayor que se conoce tiene 474501 cifras.
• ¿Es 55 el mayor número de Fibonacci capicúa? ¿Y 167761 el mayor de Lucas?
• ¿Es 2201 el único número no capicúa con cubo capicúa (22013 = 10662526601)?
• ¿Es cierto que no hay ningún número capicúa de la forma nm , con n > 1, m ≥ 5?
• ¿Es la suma de los inversos de todos los números capicúas (3.3702 . . .) irracional?

Armengol Gasull, Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona
Correo electrónico: gasull@mat.uab.cat