Uniciencia Vol. 36(1), pp. 1-16, January-December, 2022 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 www.revistas.una.ac.cr/uniciencia E-ISSN: 2215-3470 revistauniciencia@una.cr CC: BY-NC-ND Modelización matemática en actividades estadísticas: Episodios clave para la generación de modelos Mathematical Modeling in Statistical Activities: Key Episodes for Model Generation Modelagem matemática em atividades estatísticas: Principais episódios para a geração de modelos Àngels Aymerich1, Lluís Albarracín1 Received: Jun/7/2021 • Accepted: Set/1/2021 • Published: Jan/31/2022 Resumen En nuestro trabajo estamos interesados en promover el aprendizaje de conocimientos estadísticos por parte de alumnos de educación secundaria a partir de la modelización matemática. En concreto, usamos problemas estadísticos abiertos donde se estudian fenómenos sociales reales a partir de grandes cantidades de datos que cumplen con los principios de diseño de las model-eliciting activities con alumnos del último curso de educación obligatoria en España (15 años). Las tareas se dirigen a promover el desarrollo del concepto de variabilidad y aplicarlo para entender la situación estudiada a partir de un modelo matemático. En este estudio nos centramos en identificar los episodios clave de la actividad en los que se avanza en la construcción de los modelos matemáticos y los elementos que los promueven. Para ello se desarrolla un análisis cualitativo a partir de las grabaciones del trabajo en grupo de los alumnos en el aula a partir del uso de diagramas de actividad modelizadora. Los resultados obtenidos muestran que algunas decisiones de diseño del problema, como la gran cantidad de datos, o la ambigüedad de conceptos sociales, como el de justicia y equidad en los impuestos, resultan esenciales para el desarrollo de los modelos matemáticos. Las conclusiones del artículo tienen implicaciones para el diseño de tareas estadísticas, pero también para identificar el rol de la modelización matemática en el aprendizaje de conceptos estadísticos. Palabras clave: modelización matemática; actividades promotoras de la modelización; diagramas de actividad modelizadora; educación secundaria; estadística; variabilidad Abstract This work is intended to assist 15-year-old secondary school students to learn about statistics using mathematical modeling. Specifically, open statistical problems are presented in which real social phenomena are studied by students using large data sets that comply with the design principles of model- eliciting activities. The tasks assigned are aimed at presenting the concept of variability and its application to understanding the situations studied using a mathematical model. The study focuses on identifying Àngels Aymerich, angels.aymerich@pmaria-santcugat.org, https://orcid.org/0000-0003-0684-4469 Lluís Albarracín, lluis.albarracin@uab.cat, https://orcid.org/0000-0002-1387-5573 1 Departament de Didàctica de la Matemàtica i les Ciències Experimentals, Universitat Autònoma de Barcelona, Bellaterra, España 1 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND key episodes in the activities in which progress is made in the construction of mathematical models, and the elements that promote them. To do so, a qualitative analysis is carried out based on records of the UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • students’ group work in the classroom using Modeling Activity Diagrams. The results obtained show that decisions about the design of a problem, such as using large amounts of data, or the ambiguity of social concepts such as “fair taxation,” are essential for promoting the development of mathematical models. The conclusions of this investigation have implications for the design of statistical tasks, and also for identifying the role of mathematical modeling in the learning of statistical concepts. Keywords: mathematical modeling; model-eliciting activities; Modeling Activity Diagrams; secondary education; statistics; variability Resumo Em nosso trabalho estamos interessados em promover a aprendizagem do conhecimento estatístico por estudantes do ensino médio a partir da modelagem matemática. Especificamente, utilizamos problemas estatísticos abertos onde fenômenos sociais reais são estudados a partir de grandes quantidades de dados que cumprem os princípios de desenho das eliciting activities com os alunos do último ano de educação obrigatória na Espanha (15 anos). As tarefas visam promover o desenvolvimento do conceito de variabilidade e aplicá-lo para compreender a situação estudada a partir de um modelo matemático. Neste www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • estudo, focamos na identificação dos principais episódios da atividade em que se avança na construção de modelos matemáticos e de elementos que os promovem. Para isso, é desenvolvida uma análise qualitativa com base nas gravações do trabalho em grupo dos alunos em sala de aula a partir do uso de diagramas de atividade de modelagem. Os resultados obtidos mostram que algumas decisões de desenho do problema, como a grande quantidade de dados, ou a ambiguidade de conceitos sociais, como justiça e equidade em impostos, são essenciais para o desenvolvimento de modelos matemáticos. As conclusões do artigo têm implicações para o desenho de tarefas estatísticas, mas também para identificar o papel da modelagem matemática na aprendizagem de conceitos estatísticos. Palavras-chave: modelagem matemática; atividades fomentadoras de modelagem; diagramas de revistauniciencia@una.cr atividade de modelagem; ensino médio; estatística; variabilidade Introducción incluyendo recomendaciones específicas para su implementación y su trabajo en el Nuestra sociedad vive un auge del aula (Gal, 2004). uso y necesidad de la Estadística. Los co- En nuestro estudio tomamos el si- nocimientos y métodos estadísticos son guiente posicionamiento para enfrentarnos parte de la capacidad de entender e inter- al reto de la enseñanza de la Estadística en pretar informaciones estadísticas y actúan las aulas de educación secundaria: promo- como una herramienta clave para formar ver que los alumnos construyan sus propios futuros ciudadanos. Por ello, en tiempos conceptos y métodos estadísticos para es- recientes los currículos de varias partes del tudiar situaciones realistas y complejas. En mundo (Burrill y Biehler, 2011) han incidi- este artículo partimos de estudios previos do en potenciar los contenidos estadísticos, en los que se corrobora que los alumnos Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 2 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND de educación secundaria desarrollan sus los alumnos y la modelización matemáti- propios modelos matemáticos para resol- ca, de la que destacamos las actividades ver actividades en las que se proporcionan promotoras de modelos y el uso de los dia- grandes cantidades de datos (Albarracín, gramas de actividad modelizadora como UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • Aymerich, y Gorgorió, 2017; Aymerich, herramienta de análisis. Gorgorió, y Albarracín, 2017). Estos es- tudios ponen de manifiesto que es posible Investigaciones estadísticas y mode- utilizar actividades promotoras de modelos lización matemática para que los alumnos generen sus propios conceptos y métodos estadísticos para estu- La forma en que los estudiantes se diar la variabilidad. enfrentan a situaciones reales en las que Por ello, el propósito de nuestra in- es necesaria la modelización de datos ha vestigación es identificar actividades de sido un foco de atención en la investiga- aula en la que los alumnos de educación ción educativa desde finales del siglo XX. secundaria generan sus propios conceptos Diversos estudios constatan que estas ac- estadísticos para entender la variabilidad tividades proporcionan un contexto dis- de datos como paso previo a la compren- tintivo para observar el trabajo estadístico sión de los conceptos estadísticos inclui- de los estudiantes en situaciones abiertas dos en el currículo. Tomamos como refe- (Batanero, Estepa, Godino & Green, 1996; www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • rencia teórica las actividades promotoras Ben-Zvi & Arcavi, 2001; Doerr & Tripp, de modelos (Lesh, 1997) entendiendo que 1999; Lehrer & Romberg, 1996; Lehrer será necesario introducir características es- & Schauble, 2000; Lesh, Amit & Schorr, pecíficas en los enunciados, los materiales 1997). Ante la necesidad de hacer estadísti- proporcionados y la gestión de aula por camente competentes a los estudiantes, los parte del profesor. De esta forma, el objeti- investigadores han desarrollado diversos vo específico de este estudio es identificar conceptos que tratan de definir las necesi- aquellos episodios del proceso de modeli- dades estadísticas de los ciudadanos (Cri- zación que permiten a los alumnos generar tes y Laurent, 2015). De esta forma, apare- revistauniciencia@una.cr los elementos clave del modelo matemáti- cen en la literatura términos que provienen co que desarrollan para estudiar la variabi- de marcos teóricos distintos y que no son lidad de un fenómeno real. Estos episodios excluyentes, sino que se complementan clave son los que nos permiten concretar (Ubilla, 2019), como son la alfabetización los aspectos del problema que realmente estadística, el razonamiento estadístico, y promueven la generación de modelos ma- el pensamiento estadístico. En los últimos temáticos por parte de los alumnos. años, los esfuerzos se han centrado en con- jugarlos en un concepto denominado “sen- Marco teórico tido estadístico” (Batanero, Díaz, Contre- ras y Roa, 2013). En esta sección detallamos los distin- El concepto de alfabetización estadís- tos referentes que sustentan nuestra inves- tica ha sido desarrollado por diversos auto- tigación. Entre ellos se encuentran el uso res en las últimas décadas. Gal (2002) define de investigaciones estadísticas para pro- la alfabetización estadística como la habili- mover la alfabetización estadística entre dad para interpretar y evaluar críticamente Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 3 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND la información estadística con argumentos entre los conceptos estadísticos (Garfield y relacionados con datos o fenómenos esto- Ben-Zvi, 2007; delMas 2002; 2004). Razo- cásticos, que ocurren en diversos contextos; nar estadísticamente requiere de usar coor- habilidad para discutir y comunicar las re- dinadamente más de un concepto estadísti- UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • acciones a esta información, así como en- co y establecer conexiones entre ellos. tender el significado de la información y es- Finalmente, destacamos el concepto tablecer opiniones sobre la implicación de de pensamiento estadístico (Wild y Pfan- estos resultados. Batanero, Díaz, Contreras nkuchen, 1999) como una propuesta más y Roa (2013) consideran que un adulto está ambiciosa desde el punto de vista del co- alfabetizado estadísticamente si tiene la ca- nocimiento y la competencia estadísticos. pacidad de, por una parte, interpretar y eva- El pensamiento estadístico incluye el co- luar críticamente información estadística y, nocimiento de cómo y por qué utilizar un por otra, discutir o comunicar su reacción método en particular, una medida, un dise- a esta información, así como sus preocupa- ño o un modelo estadístico. Incluye enten- ciones con respecto a la aceptabilidad de las der en profundidad las teorías subyacen- conclusiones dadas. tes a los procesos y métodos estadísticos, Watson (2011) propone que al final así como sus limitaciones y contrastes. El de la educación obligatoria (16 años en pensamiento estadístico también trata de España) la alfabetización estadística debe cómo los modelos estadísticos se utilizan www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • consistir en entender los problemas y ter- para simular fenómenos aleatorios, enten- minologías básicas de la estadística, usarlos der cómo los datos se producen, estimar en el mundo real y cuestionar las conclusio- probabilidades, reconocer cómo, cuándo nes obtenidas. En este sentido, se ha insis- y por qué existen y pueden ser utilizadas tido en que para promover la alfabetización las herramientas de inferencia estadística, estadística es necesario usar datos reales o facilitar entender y utilizar el contexto de realistas, significativos para el alumnado y un problema o plan, evaluar las investiga- presentados en contextos motivadores, en ciones y dar conclusiones. El pensamiento lugar de usar datos simplistas, omitiendo estadístico describe desde diferentes di- revistauniciencia@una.cr deliberadamente todas las dificultades de- mensiones el proceso y posicionamiento rivadas de los procesos de recolección o del estudiante en las investigaciones esta- muestreo (Hahn, 2015; Muñiz-Rodríguez, dísticas y destaca la importancia del con- Rodríguez-Muñiz y Alsina, 2020); aun- texto (Wild y Pfannkuchen, 1999). Por este que también se ha propuesto separar las motivo, las investigaciones estadísticas actividades de investigación estadística en conectan con los procesos de modelización las que se recogen datos de aquellas en las matemática poniendo el foco de atención que se procesan datos proporcionados a los en la organización y representación de da- alumnos (Ubilla, 2020). tos, la construcción de patrones y la bús- El razonamiento estadístico se en- queda de relaciones (Lesh y Doerr, 2003), foca en el trabajo con datos y describe la e involucran a los estudiantes en el razona- habilidad de los estudiantes para establecer miento estadístico como la toma de deci- conexiones entre los conceptos estadísticos, siones, la inferencia y la predicción. crear representaciones mentales de los pro- blemas estadísticos y explicar las relaciones Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 4 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND Actividades promotoras de la en el proceso de modelización como en el modelización producto final (modelo matemático). Lesh (1997) caracteriza las MEAs como aque- La modelización matemática es un llos problemas basados en la vida real que, UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • proceso de resolución de problemas contex- cuando son resueltos por los estudiantes, tualizados en la que se elabora un modelo ellos construyen un modelo que representa matemático para describir el fenómeno real un sistema del mundo real presentado en el estudiado. Lesh y Harel (2003) ofrecen una problema, y que describe, explica o predice definición de los modelos matemáticos que el comportamiento del sistema. Así pues, generan los alumnos como sistemas con- el enfoque del problema debe permitir a los ceptuales complejos que describen otros estudiantes establecer criterios apropiados sistemas. Estos autores entienden que los que les ayuden a decidir qué solución es la modelos están formados por a) un conjun- adecuada entre un conjunto de alternativas to de conceptos para describir o explicar diferentes. Por lo general, al proponer una los objetos matemáticos relevantes del fe- MEA, se pide a los estudiantes que traba- nómeno estudiado, así como las relaciones, jen en pequeños grupos (Zawojewski, Lesh acciones, patrones y regularidades que se y English, 2003) y se enfrenten a una situa- atribuyen a la situación de resolución de ción problemática significativa y relevante problemas; y (b) los procedimientos que los para ellos, y para la cual necesitan crear, acompañan para generar construcciones úti- www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • ampliar y mejorar sus propias construc- les, manipulaciones o predicciones para el ciones matemáticas. En consecuencia, los logro de objetivos claramente reconocidos. estudiantes tienden a pasar por secuencias Este sistema que conforma el modelo puede de ciclos de interpretación-desarrollo en ser expresado de formas múltiples, ya sea las que los datos, objetivos y procesos de a partir de relaciones algebraicas, símbolos solución relevantes se piensan de diferen- escritos, gráficos o esquemas, lenguaje na- tes maneras. Una vez obtenido el modelo, tural o metáforas basadas en la experiencia. los estudiantes deben determinar si este En este trabajo consideramos una solo es aplicable a la situación particular revistauniciencia@una.cr perspectiva teórica para interpretar las acti- que se presenta en el problema o si, por el vidades de modelización matemática deno- contrario, el modelo puede compartirse, minada Modelos y Modelización (M&M), trasladarse, modificarse fácilmente y re- donde el proceso de modelización incluye utilizarse para otros tipos de problemas o múltiples ciclos de interpretaciones, des- situaciones. cripciones, conjeturas, explicaciones y Para diseñar este tipo de actividades justificaciones que se redefinen y recons- nos basamos en los seis principios básicos truyen iterativamente a través de la interac- de Lesh, Amit y Schorr (1997), que son ción entre los estudiantes (Doerr y English, los siguientes: 2003). Los problemas o proyectos contex- tualizados en el mundo real y con caracte- • Principio de realidad: Responde a rísticas y demandas que los convierten en la pregunta de si el problema puede actividades de modelización se denominan ocurrir en la vida real. Los estudian- actividades promotoras de la modelización tes se verán motivados por experien- (MEAs, de sus iniciales en inglés: mo- cias y conocimientos personales. Los del-eliciting activities) y se centran tanto Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 5 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND estudiantes deberán testar y confron- En general, se acepta en la literatura que los tar sus ideas para encontrar la solución procesos de modelización tienen una natura- que desea el autor de la actividad. leza cíclica (Blum & Leiss, 2006; Carreira, • Principio de construcción de un mo- Amado & Lecoq, 2011; Doerr & English, UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • delo: La tarea debe crear la necesidad 2003; Galbraith & Stillman 2006; Greefra- de construir un modelo, modificarlo, th, 2011; Kaiser & Stender, 2013). Aunque extenderlo o refinarlo. La tarea debe existen diversas formas de concretar la es- involucrar construir, explicar, manipu- tructura de un proceso de modelización, se lar o predecir un sistema significativo. entiende que se puede dividir en diferentes • Principio de autoevaluación: Debe fases que los alumnos recorren. haber unos criterios claros para la Ante la necesidad de describir los pro- evaluación de las diversas soluciones cesos de modelización que implementan los alternativas. Los estudiantes deben alumnos, Ärlebäck (2009) propone el uso poder juzgar por sí mismos si las so- de los diagramas de actividad modelizadora luciones dadas son bastante buenas y (DAM), basados en los protocolos de co- los resultados son los que necesitan. dificación de Schoenfeld (1985), como un • Principio de documentación del mo- gráfico bidimensional en el que se represen- delo: Los estudiantes deben hacer ta el tipo de actividad para cada intervalo de explícito lo que piensan sobre la si- tiempo de una sesión de modelización. Ori- www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • tuación, y el tipo de sistemas (objetos ginalmente, Schoenfeld (1985) considera matemáticos, relaciones, operaciones, actividades propias del proceso de resolu- patrones, regularidades) en los que ción de un problema matemático, como leer han pensado. el enunciado, explorar vías de resolución, • Principio de generalización del mo- implementar un plan de acción o verificar delo: El modelo que construyen debe una respuesta. Modificando las actividades poder ser aplicado o adaptado a un a considerar para ajustarlas al trabajo de mo- abanico mayor de situaciones. delización matemática, las actividades pro- • Principio de prototipo simple: La tarea puestas por Ärlebäck (2009) para caracteri- revistauniciencia@una.cr pone al estudiante en una situación tan zar el proceso de modelización en un DAM sencilla como sea posible para crear la son las siguientes: leer (R), desarrollar un necesidad de un modelo significativo, modelo (M), estimar (E), calcular (C), vali- pero también provee al estudiante de dar (V) y redactar (W). La figura 1 muestra un prototipo útil (o metáfora) para in- un DAM que pone de manifiesto la comple- terpretar situaciones similares. jidad del proceso matemático desarrollado por los alumnos y que permite cualificar Diagramas de actividad el trabajo de modelización de los alumnos modelizadora como idiosincrático, en relación tanto a las características de los alumnos como prota- La forma en la que los estudiantes ela- gonistas de la actividad matemática como boran modelos matemáticos en procesos de por la propia naturaleza del problema que resolución de problemas para describir fe- genera la actividad. nómenos o realizar predicciones es objeto de discusión y existen diferentes posiciones teóricas al respecto (Borromeo Ferri, 2006). Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 6 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND y su cantidad de población. Además del im- puesto de vehículos de tracción mecánica (de turismo, tractores, camiones, remolques, ciclomotores, autobuses y motocicletas), UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • proporciona: el impuesto sobre bienes in- muebles (IBI), el impuesto sobre actividades económicas (IAE), el impuesto sobre el in- cremento del valor de los terrenos de natura- leza urbana (IIVTNU), y el impuesto sobre construcciones, instalaciones y obras (ICIO). También se ofrece a los alumnos una Figura 1. Diagrama de actividad lectura en forma de artículo que analiza el modelizadora para la resolución del hecho de que en poblaciones cercanas se problema de la estimación de tiempo pueden encontrar grandes diferencias en el necesario para subir al Empire State valor de este impuesto. Se proveen ejem- Building a pie. plos concretos de este hecho para ilustrar la Extraído de Ärlebäck (2009). situación. Con esta información, se pregun- ta a los alumnos qué municipios tienen un Los DAM se han adaptado a otras impuesto de circulación justo para sus habi- actividades de modelización introduciendo www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • tantes. Dado el interés en recoger datos para categorías de análisis y factores distintos de este estudio, la tarea se divide en dos fases. los originales (Albarracín, Ärlebäck, Civil En la primera fase se plantea el problema y y Gorgorió, 2019), con lo que se abre la vía se pide a los alumnos que desarrollen el mo- de adaptarlos específicamente a las carac- delo que van a usar para dar respuesta a las terísticas de cada proceso analizado, como preguntas formuladas. En la segunda fase se planteamos en este estudio. pide que trabajen con los datos ciñéndose a las decisiones tomadas, generen resultados Diseño y justificación del pro- y redacten un informe para evaluar la situa- revistauniciencia@una.cr blema utilizado ción y presentar propuestas en las que se valoren soluciones posibles para minimizar La actividad utilizada trata sobre la las desigualdades. variabilidad del impuesto de circulación en España. El impuesto de circulación es mu- nicipal, con lo que depende de cada ayunta- miento y puede variar en función de las nece- sidades y características socioeconómicas del municipio. A los alumnos se les proporciona una hoja de cálculo con los valores de todos los impuestos según el tipo de vehículos de cada uno de los municipios españoles publi- cados por Hacienda. Este documento contie- Figura 2. Tarifas del impuesto municipal ne información sobre los impuestos a cargo de vehículos de tracción mecánica. del municipio, provincia a la que pertenece Extraído de Automovilistas Europeos Asociados (2019). Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 7 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND La actividad sigue la propuesta de los borradores, el documento en bruto y el trabajos anteriores (Albarracín, Aymerich redactado del informe final. Para el análisis y Gorgorió, 2017), en la que la tarea cum- se utilizan los datos de 3 de los grupos par- ple con las características que definen las ticipantes, que denominamos grupo G1, G2 UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • MEA (Lesh, Amit y Schorr, 1997) al pre- y G3. Se eligen estos grupos por dos moti- sentarse una situación real y contextualiza- vos: por el interés del trabajo de modeliza- da que debe ser modelada con el objetivo ción desarrollado y la calidad de los audios de presentar el modelo final como un pro- recogidos, en el sentido de que permiten ducto útil en esta situación. De esta forma, entender claramente las aportaciones de los la actividad pretende apoyar la construcción alumnos durante toda la actividad sin gene- de intuiciones correctas sobre conceptos rar posibles lagunas en el análisis. estadísticos (Hernández-Solís, Batanero, Gea, y Álvarez-Arroyo, 2021). Al mismo Análisis tiempo, el trabajo propuesto a los alumnos exige un análisis de datos estadísticos en el A partir de los datos recogidos, en este que se genere un modelo matemático para apartado mostramos el proceso de análisis evaluar la adecuación de los impuestos a la de las grabaciones y la forma en la que se realidad, con lo que se trabaja en la direc- codifican las diferentes actividades de mo- ción de que los alumnos desarrollen tanto su delización de los DAM (Ärlebäck, 2009). www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • pensamiento estadístico al trabajar con da- En concreto, en esta sección nos interesa tos generando conceptos propios (Garfield poner de manifiesto las decisiones toma- y Ben-Zvi, 2007; delMas 2002; 2004) como das por los investigadores al determinar la su razonamiento estadístico, al aprender qué categoría (actividad) identificada en cada conceptos son los adecuados en cada situa- momento de la grabación, así como mostrar ción a estudiar (Wild y Pfannkuchen, 1999). parte de los datos recogidos. La primera decisión es la de elegir las Participantes y datos recogidos actividades que conforman las categorías de análisis. Dado que la actividad utilizada revistauniciencia@una.cr La recogida de datos se desarrolla en se centra en el análisis estadístico de datos, un centro concertado de una ciudad del área tomamos las categorías del ciclo de inves- metropolitana de Barcelona. Participan 30 tigación estadístico de Wild y Pfannku- estudiantes de 4º de ESO (15-16 años) que chen (1999). De esta forma, las categorías trabajan en grupos de 3 personas en sesio- de análisis son las siguientes: interpretar el nes de 60 minutos. El trabajo se desarrolla enunciado, explorar los datos, planificar, en diversas sesiones, variables en función implementar el análisis y generar conclu- del ritmo de cada grupo. En este artículo es- siones. Entendemos que la categoría de pla- tudiamos la fase inicial en la que los alum- nificación de los procedimientos es aquella nos deciden cómo dar respuesta al problema en la que los alumnos podrían desarrollar un de forma grupal. Todas las discusiones de modelo matemático al definir los procedi- los alumnos se graban en audio y se recogen mientos con los que se van a enfrentar al todos los materiales elaborados durante la análisis de datos (Lesh y Harel, 2003). La actividad. Estos materiales son los ficheros Tabla 1 muestra la descripción de las cate- de Excel en los que manipulan los datos, gorías de análisis utilizadas. Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 8 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND Tabla 1 Categorías de análisis utilizadas. Interpretar (I) Leen, escuchan y ven. Adaptan el lenguaje a su vocabulario. Resumen. Comparan con otras situaciones similares. UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • Conectan con ideas previas. Buscan información para entender mejor el enunciado. Explorar datos (D) Exploración visual en la que se fijan en lo que la experiencia o sus prejuicios les dicen. Cálculos exploratorios con datos. Planificar (P) Trazan un plan de acción que puede incluir en mayor o menor medida la estadística. Modificaciones del plan de acción. Implementar el análisis (A) Cálculos, organización de los datos, generación de gráficos, toda actividad que produzca resultados. Generar conclusiones (C) A partir de la observación e interpretación de los datos y los resultados del análisis, generan conclusiones y las redactan. Nota: Fuente propia de la investigación. Para analizar las discusiones de los N: No hay que mirarlos todos, lo que tene- alumnos, las grabaciones se transcriben mos que hacer es mirar algunos. Los que anotando cada una de las intervenciones y queramos. su autor. Cada una de las tres grabaciones I: Cogemos los [impuestos de] turismos de www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • analizadas pasa a ser un listado de interven- yo qué sé. ciones ordenadas en el tiempo. Para dar sig- S: Y cogemos un poco del norte, del sur y nificado a las intervenciones, se agrupan en un poco de Extremadura. paquetes que tratan sobre el mismo objeto de discusión, dando lugar a episodios como En el episodio anterior los alumnos intervalos de tiempo en los que se discute han descubierto la dificultad de trabajar una misma idea o proceso. A partir de esta con todos los datos proporcionados, y en estructuración en episodios se procede a su este episodio se replantean usar una par- categorización, identificando la idea central te de ellos, a partir de elegir una muestra. revistauniciencia@una.cr de la discusión en cada uno de los casos. Las últimas intervenciones evidencian sus A continuación, mostramos un de es- primeras ideas sobre cómo deben elegir tos episodios y su análisis. Entre las marcas los valores de la muestra, hecho que cam- de tiempo 16:12 y 16:51 el grupo G1 se re- bia el planteamiento previo que tenían y plantea la forma en la que deben analizar los les permite elegir una nueva vía de trabajo. datos y tienen la siguiente conversación: Por ello hemos categorizado este episodio como un proceso de planificación (P). Una I: Entonces ¿ahora hay que mirar todos? vez caracterizados todos los episodios, se S: Sí, y comparar. genera el DAM usando TaskTimeTracker I: Vale, eh. (Pla-Castells y García-Fernández, 2020): S: O sea, yo diría que sí. un software diseñado específicamente para I: No, yo creo que todos… No hay que mi- representar DAM de forma ágil. rarlos todos. Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 9 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND Resultados: DAM de cada trabajar a partir de pequeñas simulaciones. grupo La necesidad de tomar una muestra aparece cuando toman conciencia de la gran canti- A continuación, mostramos como re- dad de datos que presenta el problema y las UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • sultados del análisis cualitativo desarrollado dificultades que anticipan en el uso de he- los DAM obtenidos a partir de las grabacio- rramientas digitales para tratarlas. Vuelven nes de los tres grupos de alumnos. a discutir sobre lo que pide el enunciado, redefiniendo sus objetivos. Esto provoca Primer grupo (G1) que redefinan la muestra con la que van a trabajar y decidan elegir una que pueda ser El DAM elaborado para caracterizar representativa. Deciden que en la muestra la actuación del grupo G1 es el que se mues- no escogerán provincias al azar, sino que tra en la figura 3. se centrarán en el impuesto de un tipo con- creto de coche. Los alumnos no definen de ninguna forma qué entienden por “muestra representativa”, pero pasan a escoger pro- vincias de diferente población y repartidas por el territorio, así como los impuestos de los vehículos más comunes. www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • Este grupo es muy coherente y cons- tante en su trabajo: cuando deciden una Figura 3. DAM para el grupo G1. forma de trabajar y eligen un concepto, lo Fuente propia de la investigación. mantienen firmemente en su trabajo. Su pri- mera propuesta de muestra se detalla poste- Los estudiantes del grupo G1 empie- riormente para determinar una submuestra, zan leyendo e interpretando el enunciado, siguiendo unos criterios (de aleatoriedad hasta el minuto 6:58 de la grabación. No intuitiva) similares. Estos criterios son muy solo leen el enunciado literalmente, sino discutidos por el grupo a lo largo del pro- revistauniciencia@una.cr que también discuten sobre los significa- ceso. El análisis de los datos les permite al- dos de cada elemento. Este episodio se ve canzar los primeros resultados, pero en el interrumpido por la primera fase de explo- minuto 19 del audio observan que necesitan ración de datos en la que aparece una idea un análisis más detallado, e introducen un para entender mejor el enunciado (minuto análisis de la variabilidad a partir de estu- 9:06), y vuelven a él logrando entender una diar diferencias entre los valores. Discuten parte que no les había quedado clara. La esta nueva vía hasta el minuto 27 que em- exploración inicial de los datos les permite piezan a llevarla a cabo y se replantean la entender el enunciado y, por eso, van vol- elección inicial de la muestra con la que viendo a él, hasta que en el minuto 15:07 trabajar. En este proceso, notamos que al deciden trabajar con todos los datos (P); introducir una mejora en su método vuel- pero momentos después, 15:14 minutos, ven a iniciar todo el trabajo, estableciendo se dan cuenta de que les es imposible (con diversos ciclos en los que seleccionan una los recursos de que disponen) y deciden muestra, observan las diferencias, obtienen escoger una pequeña muestra al azar para resultados y conclusiones, y planifican las Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 10 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND siguientes muestras. Es un grupo disciplina- un intervalo centrado en la media calculada do y que evalúa los resultados para saber si previamente. La elección de la anchura de tienen suficiente coherencia y, por ello, pe- este intervalo es subjetiva, no depende de un riódicamente revisan el enunciado. Aunque cálculo específico y responde a la observa- UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • observamos que, a partir del minuto 72, las ción de las semejanzas o diferencia entre los conclusiones se asientan y son redactadas datos. Entonces metódicamente clasifican en su plenitud ya con pocas interrupciones. los datos según se hallen dentro del intervalo o fuera del intervalo, con lo que se la califica- Segundo grupo (G2) ción de la adecuación de los impuestos pasa a tener tres valores (por debajo, dentro del El DAM presentado en la figura 4 intervalo-justo, por encima). Durante este muestra la categorización del trabajo del proceso los alumnos alternan entre la planifi- grupo G2. cación del trabajo y el análisis de datos hasta aproximadamente el minuto 25 de la graba- ción. Cuando empiezan a sacar conclusiones para algunos resultados, se dan cuenta de la necesidad de establecer una muestra sobre la que trabajar, ya que generar un informe completo les parece inviable. Después de www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • que todos los miembros del grupo hicieran propuestas para elegir un método de deter- minación de la muestra, decidieron. Todos Figura 4. DAM para el grupo G2. los miembros del grupo aportaron ideas para Fuente propia de la investigación. construir el modelo, pero se veía un vínculo entre hacia dónde iba la conversación y la El grupo G2 establece un primer mo- herramienta elegida. delo para valorar la adecuación de los im- puestos en la primera lectura del enunciado. Tercer grupo (G3) revistauniciencia@una.cr En concreto, se plantean un modelo que uti- liza como concepto la media de los valores El DAM que caracteriza la actuación máximos y mínimos de los impuestos de del grupo G3 se muestra en la figura 5. cada provincia (minuto 4:30). Los impues- tos por encima de este valor serán califica- dos como injustos, y los que estén por deba- jo como justos. Este grupo utiliza todos los datos pro- porcionados, que trataron usando la hoja de cálculo. Mientras trabajan con la hoja de cál- culo, observan que obtener un valor concre- to no les permite representar adecuadamente Figura 5. DAM para el grupo G3. la variabilidad de los datos dentro de cada Fuente propia de la investigación. provincia. Por ello, deciden modificar el mo- delo utilizado (minuto 14:35) e incorporan Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 11 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND El grupo 3 determina un esquema Resultados: Episodios clave en base para su modelo en la primera etapa del la modelización trabajo (los primeros 6 minutos) después de una discusión en la que contemplan diver- En esta sección identificamos los re- UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • sas opciones y las discuten. A partir de ese sultados obtenidos del análisis basado en momento, lo revisan añadiendo elementos el DAM de la actividad de los alumnos. En que van necesitando cuando se enfrentan a primer lugar, corroboramos que la actividad los datos concretos. Esta forma de actuar se propuesta promueve realmente la modeliza- explica por la determinación que aporta una ción matemática (Lesh, 1997). Los grupos de las integrantes del grupo que tiene muy G1 y G2 desarrollan modelos matemáticos clara la forma de trabajar y marca con ímpe- usando procedimientos específicos para dar tu las actividades a seguir. respuesta a la problemática planteada. Por Este grupo desarrolla un modelo ba- su parte, el grupo G3 desarrolla los concep- sado en establecer relaciones entre el valor tos que darían forma a un modelo matemá- del impuesto y diversas variables socioeco- tico (Lesh y Harel, 2003) pero sin utilizar nómicas de cada provincia, pero esquiva el procedimientos que involucren cálculos es- análisis matemático de los datos sin utilizar pecíficos, con lo que trabajan a partir de un procedimientos de cálculo de ningún tipo. modelo informal. En su lugar, utilizan unas asignaciones in- En segundo lugar, la actividad de los www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • tuitivas de lo que supone un impuesto con alumnos se focaliza mayoritariamente en un valor alto o bajo, a partir de comparar medir las diferencias entre los valores de los datos proporcionados en las tablas. Por los impuestos proporcionados, con lo que ejemplo, en el minuto 7:30 deciden que comprobamos que responde a la necesidad Badajoz es una provincia justa respecto su de promover el pensamiento estadístico impuesto de circulación porque pertenece (Garfield y Ben-Zvi, 2007; delMas 2002; a una comunidad autónoma con una de las 2004) y el razonamiento estadístico (Wild rentas per cápita más bajas del Estado espa- y Pfannkuchen, 1999). De esta forma, ob- ñol y el valor del impuesto se ajusta a esa servamos que la resolución del problema revistauniciencia@una.cr valoración. En una situación similar, en el conjuga actividades de modelización ma- minuto 9:05 deciden que Ceuta es una loca- temática y de pensamiento y razonamiento lidad justa porque es una ciudad autónoma estadísticos. Interpretamos que este hecho fuera de la península ibérica, con las difi- se debe realmente a que estos procesos de cultades económicas que eso supone. Con- actividad comparten una base común, y que forme van estudiando casos concretos, van se diferencian mayormente en aspectos que observando la complejidad de la situación y se han esquivado con el diseño del proble- añaden nuevas variables. Esta forma de tra- ma presentado. bajar, que no incluye cálculos específicos, permite que avancen rápidamente en la re- El análisis mostrado en los DAM de solución del problema, hecho que refuerzan los tres grupos nos permite identificar aque- al dividir el trabajo y que uno de los inte- llos episodios en los que los alumnos han grantes del grupo se dedique en exclusiva a tomado decisiones que les han permitido redactar el informe mientras están trabajan- desarrollar con más precisión el modelo do sobre los datos. matemático que construían. En concreto, Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 12 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND los elementos que provocan que los alum- los datos. Esto supone enfrentar a los nos incidan en el modelo matemático que alumnos con una situación compleja van a usar para justificar sus respuestas son en la que observan que toda reducción los siguientes: de la complejidad cambia el problema, UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • por lo que deben tratar de trabajar sin • Gran volumen de datos: El alumnado reducirla. Este hecho se muestra en las se plantea formas efectivas o viables dificultades que presentan los alumnos de analizar una cantidad de datos de al tratar de determinar muestras de los gran volumen como la que se les ha datos para obtener resultados, ya que proporcionado. Los alumnos pueden consideran diversas variables socioe- ser conscientes de esta dificultad des- conómicas y observan que deben con- de que leen el enunciado, o puede ser siderar un gran número de ellas para que se den cuenta de ello mientras asegurar que la muestra puede repre- exploran los datos o incluso en una sentar adecuadamente a cada conjunto fase posterior, mientras los están ana- de datos estudiados. lizando. En todos estos casos la gran cantidad de datos afecta al trabajo de Discusión y conclusiones los alumnos que, al no conocer mé- todos específicos para enfrentarse a En este estudio hemos analizado el tra- www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • esta situación, buscan estrategias para bajo de alumnos de 4º curso de educación se- esquivar el problema o replantearse cundaria obligatoria en España al enfrentarse el método usado. De esta forma, se a una tarea en la que deben tratar con una gran substituyen las dificultades de reco- cantidad de datos. Para ello hemos usado una lectar datos por las de tratar y mani- adaptación específica para las actividades pular datos (Hahn, 2015; Muñiz-Ro- con contenidos estadísticos de los DAM (Är- dríguez, Rodríguez-Muñiz y Alsina, lebäck, 2009) como herramienta de análisis. 2020, Ubilla, 2020). Los resultados nos muestran que la actividad • Indefinición del concepto de justicia: promueve efectivamente los dos elementos revistauniciencia@una.cr El enunciado de la actividad incluye para los que ha sido diseñada: la modeliza- la expresión “impuestos justos”, pero ción matemática como actividad principal y en este contexto el concepto de justi- el tratamiento de datos estadísticos. cia no está claramente definido, con lo Los resultados del estudio muestran que obliga a los alumnos a generar su que los alumnos generan sus propios mode- propia concepción de lo que se entien- los matemáticos para resolver la situación de por “impuestos justos”. Los alum- planteada empleando conceptos matemáti- nos discuten también esta concepción cos que conocen de su experiencia anterior, durante la actividad. pero innovando en la forma de combinar- • Complejidad de la realidad estudia- los para conseguir sus objetivos. También da: Los datos proporcionados se pre- observamos que los alumnos identifican sentan acompañados de un contexto elementos matemáticos clave para dar for- complejo en el que no se proporciona ma a su modelo, aunque no conozcan un información específica sobre los facto- procedimiento específico para especificarlo res que influyen en la variabilidad de formalmente. De esta forma los alumnos Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 13 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND generan modelos matemáticos propios para propios sobre el papel de las herramientas resolver una situación que requiere de co- estadísticas en el estudio de datos. La hi- nocimientos matemáticos específicos (Ay- pótesis que guía nuestro trabajo es que los merich, Gorgorió, y Albarracín, 2017). Los alumnos no solo habrán aprendido a mode- UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • elementos clave que provocan esta forma lizar grandes cantidades de datos contex- de proceder de los alumnos tienen diferente tualizados y desarrollar su razonamiento naturaleza. Por una parte, se encuentran los estadístico general (Wild & Pfannkuchen, elementos propios del diseño de la activi- 1999); al haber generado sus propios mode- dad, como proporcionar una gran cantidad los han identificado aspectos que definen el de datos o referirse a un concepto ambiguo concepto de variabilidad de datos para con- como es el de una asignación “justa” de im- cretarlo posteriormente de forma significati- puestos, que promueve las discusiones entre va con las herramientas curriculares propias los alumnos. Por otro lado, identificamos un de la estadística y conectar su experiencia elemento clave al elegir el contexto en el en esta actividad con esos conocimientos. que basar el trabajo proponiendo una temá- tica compleja que claramente es multifacto- Agradecimientos rial y que provoca que no sea sencillo elegir muestras representativas para trabajar. Lluís Albarracín es profesor Serra Dada la naturaleza de la actividad de- Húnter en la Universitat Autònoma de www.revistas.una.ac.cr/uniciencia • sarrollada para este estudio, se decidió que Barcelona y agradece el soporte de los el profesor diera un soporte básico, tratando proyectos EDU2017-82427-R (Ministerio de no influir en la toma de decisiones de los de Economía, Industria y Competitividad, alumnos. Los resultados muestran que uno España) y 2017 SGR 497 (AGAUR, Gene- de los grupos desarrolló un modelo mate- ralitat de Catalunya). mático sin procedimientos de cálculo espe- cíficos. De esta forma se pone de manifiesto Conflicto de intereses que la actividad, en la forma en la que se presentó a los alumnos, no los fuerza a to- Los autores declaran no tener algún revistauniciencia@una.cr mar un posicionamiento analítico. La forma conflicto de interés. de conseguir que los alumnos trabajen en la actividad a partir de la modelización mate- Declaración de la contribución mática se puede conseguir vía la gestión de aula del profesor. Una opción es desarrollar de los autores previamente alguna actividad de menor im- Todos los autores afirmamos que se pacto en el tiempo disponible para sentar las leyó y aprobó la versión final de este artículo. bases del trabajo. Otra posibilidad es moni- El porcentaje total de contribución torizar en el aula el tipo de actividades que para la conceptualización, preparación y desarrollan los alumnos y sugerir cambios corrección de este artículo fue el siguiente: para adecuarlos a los objetivos de aprendi- À.A. 50% y L.A. 50 %. zaje propuestos. Las investigaciones futuras debe- rían ayudarnos a decidir si estos alumnos han empezado a desarrollar conocimientos Àngels Aymerich • Lluís Albarracín 14 http://dx.doi.org/10.15359/ru.36-1.16 E-ISSN: 2215-3470 CC: BY-NC-ND Declaración de disponibilidad Education, Engineering and Economics (pp. 222-231). Horwood Publishing. de los datos Borromeo Ferri, R. (2006). Theoretical and empiri- cal differentiations of phases in the modelling Los datos que respaldan los resultados process. ZDM, 38(2), 86-95. UNICIENCIA Vol. 36, N°. 1, pp. 1-16. January-December, 2022 • de este estudio serán puestos a disposición Burrill, G., & Biehler R. (2011). 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