This is a preprint of: “Los Babilonios y Newton”, Armengol Gasull, Gac. R. Soc. Mat. Esp., vol.
  25(3), 488, 2022.




      Miniaturas matemáticas de La Gaceta de la RSME
                                                             Vol. xx (xxxx), Núm. x, Pág.




                             Los babilonios y Newton

    Hace ya más de 4000 años, los babilonios calculaban raíces cuadradas
                                                                   √     basándose
en una bonita idea geométrica: si x0 es una buena aproximación de a, construimos
un rectángulo con base x0 y altura tal que su área sea a, es decir a/x0 . Si es un
cuadrado, resulta que x√0 es la raíz cuadrada buscada. En caso contrario, uno de
los lados es mayor que a y el otro es menor. Entonces es natural pensar√que el
promedio de ambos valores (x0 + a/x0 )/2 es una aproximación mejor√de a. En
resumen, esta idea da lugar al siguiente método iterativo para calcular a:
                                         xn + a/xn           √
                             xn+1 =                ,   x0 ≈ a.                        (1)
                                             2
Parece ser que los babilonios sólo usaban unas pocas iteraciones de este proceso.
Este método también fue descrito por Herón de Alejandría en el siglo I.
    Siguiendo
         √         su idea, proponemos
                               √          un razonamiento similar, pero con prismas, para
calcular a. Dado x0 ≈ a construimos un prisma de volumen a, con base cuadrada,
          3                     3


y lados x0 , x0 y a/x20 . Entonces√la nueva aproximación sería x1 = (2x0 + a/x20 )/3.
Más en general, para calcular k a, comenzamos con un prisma k-dimensional de
lados x0 , x0 , . .√. , x0 y a/xk−1
                                 0  , y como aproximación siguiente su promedio. Es decir,
para calcular k a es natural considerar el método iterativo
                              (k − 1)xn + ax1−k             √
                        xn+1 =               n
                                                 ,    x0 ≈ k a.
                                      k
    Por otra parte, uno de los métodos más eficientes para encontrar una solución, s,
de una ecuación general f (x) = 0, con f derivable, es el famoso método de Newton.
Éste consiste en considerar la sucesión xn+1 = xn − f (xn )/f 0 (xn ), con x0 ≈ s. Se
sabe que si x0 está suficientemente cerca de √ s, entonces {xn }n converge hacia s.
Si tomamos f (x) = x − a, entonces s = a y es fácil comprobar que el método
                       k                     k


basado en la idea babilónica coincide con el de Newton. Es curioso cómo para este
caso particular, el método de Newton, que parece fuertemente basado en el cálculo
de una derivada, aparece de manera natural usando sólo ideas de geometría clásica.
    Para acabar, veamos√ cómo una variación de la idea babilónica da lugar a otro
método para calcular a. Si en lugar de tomar la media aritmética de y0 y a/y0
tomamos su media armónica (A(u, v) = 2uv/(u + v)) obtenemos el método
                                     2ayn             √
                            yn+1 =         ,    y0 ≈ a,
                                    a + yn
                                         2
             √                                                                  √
que tiende a a con la misma velocidad que (1), ya que si y0 = a/x0 > a, xn <  √  a<
yn = a/xn . Con la misma idea se puede obtener otro método para calcular a.   k



Armengol Gasull, Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona
Correo electrónico: gasull@mat.uab.cat
Página web: http://www.gsd.uab.cat/personal/agasull