MANUAL ALUMNO DE LAS ESCUELAS MUJO H1IUL PREPARATOR COLECCIÓN DE TRATADOS RUDIMENTALES DE LAS MATERUS IHDISPEHSABLES PARA ESTUDIAR COH PROVECHO LAS ARTES DEL DIBUJO J. MANJARRÉS -TBADO C % BAECELONA IMPRENTA DE J A I M E J E P U S Pataje Fortuny (antigua Unieertidad) 1879 ES PROPIEDAD Biblioteca General Pentágono. . de 5 » Exágono. de 6 » Eptágono. . de 7 '» Octógono. . de 8 » Eneágono. . de 9 » Decágono. . de 10 » Undecágono. de 11 » Dodecágono. de 12 » Los polígonos de más lados se nombran, de trece, de catorce, de quince lados, etc. etc. 65. Los polígonos puedeu ser regulares 6 irregulares. 66. Son regulares los polígonos que tienen lados y ángulos iguales: é irregulares son los que tienen los lados ó los ángulos, ó bien unos y otros, desiguales. — 13 — 67. En los polígonos de más de tres lados puede haber dos clases de ángulos: entrantes y salientes. f 68. Angulo entrante es el que tiene el vértice hacia el interior del polígono. Fig. 25.—A. Angulo saliente es el que le tiene hacia el exterior del mismo. Id. fig.—B. Fig. 25. 69. En los polígonos regulares, está el centro en el punto equidistante de los ángulos. 70. El triángulo, respecto de sus lados, puede ser equilátero, isósceles ó escaleno. Respecto de sus ángulos puede ser: rectángulo ú oblicuángulo. 71. El triángulo es equilátero cuando tiene ángu- . 26. los y lados iguales. Fig. 26. 72. El triángulo es isósceles cuando solo tiene dos lados iguales. Fig. 27. 73. El triángulo es escaleno cuando tiene todos sus lados desiguales. Fig. 28. Fig. 28. 74. El triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Fig. 29. Los lados que le forman se llaman catetos : y el opuesto á él se llama hipotenusa. Fig. 29. 75, El triángulo oblicuángulo se divide en acu- tángulo y obtusángulo. Acutángulo es el que tiene tres ángulos agudos. Fig. 26. Obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso. Fig. 28. 76. El cuadrilátero se divide en paralelógramo, trapecio y trapezoide. 77. Paralelógramo es el cuadrilátero cuyos lados Fig. 30. opuestos entre sí son paralelos. Fig. 30. O Fig. 31. Trapecio es el que solo tiene dos lados paralelos. Fig. 31. — 14 — Trapezoide es el que no tiene ningún lado paralelo. Fig. 32. 78. El paralelógramo , respecto de sus ángulos, F¡g. 32. ge divide en rectángulo y oblicuángulo. Rectángulo es el que tiene los ángulos rectos. Oblicuángulo es el que los tiene oblicuos. 79. Son paralelógramos rectángulos, el cuadrado y el cuadri- longo. El cuadrado tiene ángulos rectos y lados iguales. Fig. 33. El cuadrilongo tiene los ángulos, rectos, y desigua- les los lados de un mismo ángulo. Fig. 30. 80. Son oblicuángulos el rombo y el romboyde. Rombo es el paralelógramo que tiene lados iguales, y desiguales los ángulos adyacentes á un mismo la- do. Fig. 34. Fig. 34. ° j Romboide es el que tiene desiguales los ángulos / adyacentes á un mismo lado, y los lados consecutivos. Fig. 3o.1 Fig. 35. g| Sólido ó volumen geométrico es la extensión formada por las tres dimensiones: longitud, latitud y profundidad. 82. A la extensión cerrada por planos se le dá el nombre de poliedro. A la formada por superficies curvas se le da el de cuerpo re- dondo. 83. Los planos que forman el poliedro se llaman caras: la común intersección de dos caras adyacentes se llama arista. , A 84. Diagonal del poliedro es la línea- recta que va /• desde un vértice á. otro que no termine en una misma /^J|L cara. Fig. 36.—A. B. r^*30" 85. Base del poliedro es la cara sobre la cual in- Fig. 36. gjstg e s te sólido. 86. Altura del poliedro es la perpendicular que desde el punto más elevado, baja á la base ó á la prolongación de esta. 87. Hay tres especies de poliedros: prismas, pirámides y cuer- pos regulares. 88. Los cuerpos regulares son cinco: tetraedro, octaedro, ico- saedro, exáedro y dodecaedro. El tetraedro consta de cuatro triángulos equilá- teros iguales Fig. 37. El octaedro consta de ocho triángulos equiláteros iguales. Fig. 38. Fig. 38. -jj^ El icosaedro consta de veinte triángulos también iguales. Fig. 39. El exáedro ó cubo es un cuerpo terminado por sus cuadrados iguales. Fig. 36. El dodecaedro consta de doce pentágonos iguales. Fig. 40. F i g . 40. 89 Prisma es un poliedro que tiene por bases J Fig. n. * dos polígonos iguales y paralelos; siendo paraleló gramos sus caras. Fig. 41. Es recto ú oblicuo. Es recto cuando sus aristas son perpendiculares á la base. Es oblicuo cuando sus aristas no tienen esta circunstancia. Según fueren sus bases se llamará: triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. etc. 90. Pirámide es un poliedro cuya base es un polí- A gono cualquiera, y sus caras son triángulos cuyos vértices confluyen en un punto que se llama cúspide. Fig. 42. 91. La recta que baja desde la cúspide perpendi- cularmente al centro de la base se llama eje. 92. Según fueren las bases, la pirámide será triangular, cua- drangular, pentagonal etc. etc. 93. Llámase pirámide truncada á la porción de pirámide desde la base á la sección he.;ha por un plano paralelo á esta base. 94. Los cuerpos redondos son tres : el cilindro, el cono y la esfera. — 16 - 95. El cilindro es un sólido engendrado por la revolución de un paralelógramo rectangular, sobre su eje. Fig. 43. Es recto ú oblicuo. Fig. 43- Recto, cuando el eje es perpendicular á la base: oblicuo, cuando el eje no tiene esta circunstancia. 96. Cono es un sólido engendrado por la revo- lución de un triángulo sobre su eje. Fig. 44. Es recto ú oblicuo. Es recto cuando tiene el eje perpendicular á la base: es oblicuo cuando no existe esta circunstancia en el eje. Será truncado cuando le falte alguna porción de la cúspide. • 97. Esfera es un cuerpo terminado por una super- ficie convexa, cuyos puntos son equidistantes de uno llamado centro. Fig. 45. Tiene radios y diámetros como la circunferencia. El diámetro sobre el cual ha girado el semicírculo generatriz se llama eje: los extremos del eje se llaman polos. 98. Toda sección hecha en una esfera por un plano es un cír- culo. Si este plano pasare por el centro se llamará mayor: si no pasa- re por dicho punto, será menor. 99. La porción de esfera cortada por un círculo menor consti- tuye un casquete esférico. La porción de esfera compuesta de un casquete esférico y un cono cuya cúspide esté en el centro de la esfera se llamará sector esférico. 100. La porción de esfera entre dos círculos paralelos se llama zona. TRATADO II DIBUJO LINEAL Ó GEOMÉTRICO. No será nunca bastante encarecida la necesidad de emplear en el dibujo geométrico, reglas, escuadras, compases y tiralíneas de la mejor calidad; de otro modo no puede asegurarse la exactitud de las operaciones: teniendo siempre en cuenta las alteraciones á que estan sujetos los instrumentos de madera, por cuyo motivo es conveniente comprobarlos antes de emplearlos en los trabajos geo- métricos que hayan de practicarse. 1. Para dividir una línea recta en un número dado de partes iguales hay tres medios : 1.° El tanteo con el compás de puntas fijas. 2.° La aplicación de la regleta graduada. 7C 3.° La operación siguiente. Fig. 46. Sea la línea A. B. la que hubiere de dividirse. Desde A. trácese una línea con inclinación arbitraria inde- finidamente A. C. Divídase esta línea en el número de partes propuesto, por ejemplo, siete , con abertura de com- pás arbitraria. Uñase el punto C. con B. Trácense con la escuadra, corriéndola sobre el canto de la regla, paralelas que corten la línea A. B.; y se tendrá esta línea dividida en el número de par- tes propuesto. 2 — 18 — 2. Para trazar un ángulo igual á otro, puede echarse mano del círculo graduado, aplicando su centro al vértice, y prolongan- do, si fuere menester y posible, los lados del ángulo, para conocer el valor de la abertura. Puede precederse de otro modo, Fig. 47: Sea A. el ángulo que F i g . 47. hubiere de copiarse. Trácese la recta P. G. Desde A., trácese arbi- trariamente el arco G. D; y con la misma abertura de compás, to- mando por vértice el punto P., descríbase un arco indefinido G. E. Póngase la distancia C. D. en G. F. y trazando la línea P. F. que- dará resuelto el problema. 3. Para levantar una perpendicular en un punto cualquiera intermedio de una línea puede procederse del modo siguiente. Sea la línea A. B. fig. 48 ; y sea C. el punto en que deberá trazarse la perpendicular. Desde C. con abertura -M de compás arbitraria, trácense intersec- Fig. 48. ciones á derecha é izquierda D. E. Desde cada una de estas intersecciones, y con abertura algo mayor del compás, trácese intersección en F. Uñase el punto F. con el C. y se tendrá la perpendicular pedida. 4. Para levantar una perpendicular en el extremo de una recta, procédase según la fig. 49. Sea la línes A. B.: sea B. el punto donde deberá trazarse la perpen- dicular. Marqúese arbitrariamente el pun- to C: desde este punto y con abertura de compás igual á C. B. trácese el arco D. B. E. Desde A. pasando por C , trácese una recta que corte en F. el arco antes trazado; FiR. 49. y la línea B. F. s¿rá la perpendicular pe- dida. — 19 — 5. Para trazar una perpendicular des- & de un punto situado fuera de una recta, procédase del modo siguiente. Fig. 50. Sea A. B. la línea dada, y C. el punto desde el cual deberá partir la perpendicular. Desde C. marqúense en A. B. dos intersecciones D. E., y desde cada una de ellas, con aber- tura de compás algo mayor, marqúese una intersección, mas arriba ó mas ,abajo de C , ó en la parte opuesta á la línea A. B. Fig. 60. por ejemplo en F.; y la recta que unirá esta intersección con el punto C. será la perpendicular pedida. 6. Para hallar el centro de un polígono regular de lados pares no hay mas que trazar diagonales: la intersección de eilas dará el centro. 7. Para hallar el centro de una circun- ferencia trácese en ella, fig. 51, una cuerda A. B: y en seguida una perpendicular que la que divida por mitad, marcando las inter- secciones desde cada uno de los extremos de la cuerda de modo que quede trazado el diámetro C. D.: divídase este diámetro por mitad, y se tendrá el centro de la cireunfe- F¡g. 5i. rencia. 8. Para trazar paralelas pueden emplearse distintas opera- ciones. 1.° Corriendo la escuadra sobre el canto de la regla pueden obtenerse las más exactas paralelas. 2.° Se obtendrá una paralela á una lí- nea dada, por. ejemplo A. B. fig. 52, tra- zando con el compás y con radio arbitra- rio, un arco desde un punto intermedio d > < dicha recta, tal como desde C ; y tomando en cada lado de este arco una distancio igual desde las intersecciones que este arco marque en la A. B. hasta los respectivos puntos D. E. por los cuales pasará la para- lela. — 20 — Se obtendrá también esta paralela por M- el medio que indica la fig. 53. Sea la línea A. B. Desde un punto dado D. trácese el arco B. E., y desde B. el A. D.; y colocan- do la distancia A. D. en B. E. se tendrán Fig. 53. los puntos D. y E. por donde podrá pasar la paralela. Se obtendrá también, procediendo según la fig. 54. Sobre una línea dada A. B. le- vántese una perpendicular C. D.; y desde esta perpendicular, partiendo del punto D. Fig. 54. trácese otra, D. E.; que será la para- lela. Por último. Fig. 55. Trácense dos arcos D. y E. con abertura de compás igual, des- -A. de la recta A. B.: la tangente á dichos arcos será la paralela pedida. Fig. 55. 9. Para dividir un arco en dos partes iguales no hay más que dividir la cuerda —X ¡ | x± que le sostiene , cruzándola con una per- pendicular que llegue á cortar el arco. Fig. 56. FÍ». 56. 10. Para dividir un ángulo en dos par- tes iguales puede emplearse esta misma operación, no habiendo más que dividir el arco que le mide. Pero puede no ser conocido el vértice de este ángulo: entonces será menester suplir los lados del ángulo por paralelas equidis- tantes. Sean A. B. Fig. 57, y C. D. los la- dos de un ángulo de vértice desconocido. Trácense á estos lados dichas paralelas Fig. 57. equidistantes de ellos en la parte interior del ángulo hasta que se unan en un punto, que aqui es E , por medio de la escuadra corrida sobre el canto de la regla; y obte- nido el vértice, podrá verificarse la división del ángulo. 11. La circunferencia puede dividirse en partes iguales, por el sistema de división de arcos, conforme se ha dicho en el párrafo 9, no menos que por medio del círculo graduado. — 21 — 12. Para construir un triángulo equilátero sobre un lado cono- cido, tómese la longitud de este lado, y desde cada uno de sus ex- tremos trácense intersecciones hacia el punto donde se desee trazar el ángulo, y se tendrán los tres vórtices que son menester. Para construir un triángulo isósceles del cual se conozcan dos lados, trácense las intersecciones con dimensión igual á uno de los dos lados conocidos desde los dos extremos del otro conocido. Para construir un triángulo escaleno del cual sean conocidos los tres lados, trácese un arco indefinido en el extremo de uno de ellos con abertura de compás igual á cualquiera de los restantes, formando la intersección con abertura de compás igual al tercer lado que quedará. 13. Para trazar un cuadrado debe precisamente conocerse la extensión de los lados: sea esta A. B. Fig. 58 Trácese una perpendicular de igual extensión en uno de sus extremos, por ejemplo, en A: mar- qúese en ella la correspondiente altura en C: desde este punto asi como desde B. trá- cese la intersección D. que será el cuarto vértice. Puede obtenerse también trazando desde cada uno de los extremos A. B. fig. 59 dos arcos indefinidos con abertura de compás igual á esta línea. Desde el punto de inter- sección G. marqúese en la continuación de uno de los arcos la distancia C. A. y se Fig. 59. tendrá el punto D. Uñase este punto D. con A y quedará dividido el arco C. B. en dos mitades. Una de estas coloqúese desde C. en F. y en G., y se tendrán los cuatro ángulos del cua- drado. 14. Para trazar un cuadrado del cual solo sea conocida la diagonal, procédase según la fig. 60. Sea A. B. la diagonal. Crúcense perpendicular ó indefinidamente por separado de líneas tales como C. D.— E. F. Tómese la mitad de A. B.; y con -t-fi abertura de compás igual á esta mitad, y Fig. 60. desde el punto O, marqúense las intersec- — 22 — ciones convenientes G. H.—I. J., y se tendrán los ángulos del cuadrado. 15. Para la construcción de los polígonos regulares desde cin- co lados en adelante deben tenerse presentes las observaciones siguientes: 1.° Que el lado del exágono es igual al radio de la circunfe- rencia. 2.° Que el lado del octógono le marcará la intersección dada por la línea que dividirá el lado del cuadrado inscrito en la circunfe- rencia, ó bien las intersecciones de los arcos trazados desde cada uno de los ángulos, dadas en los lados del cuadrado, con abertura de compás igual á la distancia que hubiere desde cada ángulo al centro del cuadrado. 3.° Que el lado del dodecágono le marcará la intersección dada por la línea que divida el lado del exágono en la circunferencia en que estuviere inscrito. 4.° Qu el lado del pentágono le dá el arco de 72 grados: y el del decágono el de la mitad. 5.° Que el lado del eptágono le darán 6 partes de las 7 en que se hubiere dividido el radio de la circunferencia.—El del endecágono se obtendrá tomando 8 partes de las 9 en que se hubiere dividido el lado del octógono.—y el del undecágono, tomando 10 partes de las 11 en que se hubiere dividido el lado del decágono. 16. Para hallar el centro de un polígono de lados impares, diríjanse perpendiculares á los lados desde los ángulos respecti- vamente opuestos: y los puntos en que estas líneas se corten mar- carán el centro. 17. Para trazar una tangente en un punto dado de la circun- ferencia, trácese desde este punto un radio, y en el punto en que este radio se una á la circunferencia trácese una perpendicular indefinida para ambos extremos, y se ten- drá la tangente. 18. Para trazar una tangente á la circunferencia desde un punto dado fuera de ella. Fig. 61: únase el punto dado A. con el centro de la circunferencia B. Diví- dase esta línea por mitad, O, y desde este punto, y con abertura de compás B. O. trá- cese una circunferencia: los puntos de in- Fig. 61. 23 terseccion de las dos circunferencias serán los de las tangentes que podrán trazarse desde el punto A. 19. Para ajustar un arco en el extre- mo de una recta dada : A. B. Fig. 62. Sea A. el punto donde debe ajustarse el arco. Levántese en este punto una perpendicular, y con una abertura de compás cualquiera Fig. 62. tómese por centro un punto fa este perpen- dicular, por ejemplo C , y trácese el arco. ("V. el § 25.) Si este arco hubiese de ser una semicircunferencia, claro está què deberá tomarse por centro el del diámetro representado en es- ta perpendicular. 20. Para ajustar á una recta un arco que haya de pasar por un punto dado. Véase la fig. 63. Uñase el ex- tremo de la recta A. con el punto dado B. por medio de una línea recta. F i g . 63. Trácese una perpendicular en el cen- tro de esta línea, y otra en el punto A., y desde el punto de inter- sección O, con abertura de compás igual.— O. A., descríbase el arco. 21. Para ajustar dos convergentes á un arco prolongúense estas rectas •\ hasta encontrarse en A. Fig. 64. Desde este punto trácese un arco B. C. hasta cortar estas dos líneas. Desde B. C. háganse partir perpendiculares, que se encontrarán en D., y este será el centro del arco que habrá de ajustarse á las dos conver- gentes. Si no fuere posible prolongar las convergentes hasta encontrarse, diví- dase (fig. 65) con la recta A. E. el arco que pudiesen formar, según se ha dicho en el § 10. Trácese B. D. perpendicular al punto B; y desde D. con el radio D. B. trácese el arco de Fig. 65. unión ó ajuste. 22. Para ajustar dos convergentes que van al encuentro de — 24 — una recta dada, con un arco al cual sea tangente esta recta; prolongúense los dos convergentes B. E.—D. H., Fig. 66, hasta la recta A. C. Divídanse en dos partes iguales los ángulos A. y C , y desde K., intersección de las dos bisectrices, trácense perpendiculares á las convergentes, y que- darán marcados los puntos de contacto H. y Eig.f F.: desde el punto K. como centro , con K. H. por radio, descríbase el arco de unión ó ajuste. 23. Para ajustar un arco á otro que pase por un punto dado; sea el punto B. Fig. 67: diríjase al punto de contacto el radio G. A. prolongándole indefinida- mente : únase el punto A. con el B: le- vántese una perpendicular en el centro de A. B.; y desde el punto de intersec- ción I. con el radio I. A., descríbase el arco de ajuste A. B. 24. Para ajustar paralelas de longitud desigual; trácense en los extremos de A. B. las perpendicu- lares A. I.—B. E. indefinidas. Fig. 68. Únanse los puntos A. B. con una línea ; por el punto F. mitad de B. E. trácese F. D. paralela á las dos líneas dadas: llévese A. C. de C. en D: desde D. trácese la D. Fig. 68. G.; y el punto I. será el centro del arco A. D. y el punto E . lo será del arco D. B. 25. Para ajustar una recta á un arco; búsquese el centro de la circunferencia á que este arco perteneciere, Fig. 69, y trá- cese el radio. La perpendicular que se levantare en el extremo de este radio Fi 69 s- - será la recta que deberá ajustarse. Este problema se resuelve por inversas operaciones que el del § 19: y tanto para el de este, como para el de aquel, deberá suplirse lo — 25 — que faltare al arco, si fuese menor que la semicircunferencia; y si mayor, buscar el diámetro. 26. Para trazar una espiral de revolución equidistante ; trá- cense las líneas A. B. C. D. en dirección opuesta como puede ver- se en la fig. 70, haciendo de modo que vengan á formar el cuadrado s 1, 2 , 8 , 4 con lo que se tendrán constituidos los 4 catetos. Colo- qúese en seguida la punta del compás en el núm. 1 y trácese un cuadrante con la abertura 1 , 4 , hasta el cateto B : coloqúese la Fi s- ™. misma punta en el núm. 2 y t r á - cese otro cuadrante con la abertura 2 hasta el punto donde quedó el anteriormente trazado en el cateto B: coloqúese en el núm. 3 y trácese otro con la abertura 3 , hasta el punto en donde quedó el anterior hasta el cateto C. y asi sucesivamente. 27. Para trazar una espiral de revolución convergente, trácese Fig. 71. el cuadrado A. B. C. D. Fig. 71. y divídase en cuatro partes igua- les: subdivídanse los lados internos de estos cuadrados, cada uno en tres partes; y numérense conforme puede verse en la figura, con lo que quedarán señalados 12 puntos. Trácense en seguida des- de estos puntos los correspondientes catetos; y principiando en el — 26 — núm. 1 con la abertura de compás 1 A. trácese el cuadrante desde A. al cateto correspondiente: póngase dicha punta en el núm. 2 y ábrase el compás hasta ajustarle al extremo del cuadrante trazado, y trácese en seguida otro cuadrante mayor, y asi por orden cor- relativo recórranse todos los números. Otros sistemas existen para resolver este problema pero se omi- ten por su complicación. 28. Trazo de Óvalos. Figura oval. Sobre una recta dada trácese una circunferencia, fig. 72, siendo A. B. el diámetro. Desde A. trá- cese A. G., y desde. B. trácese B. F. Desde el punto A. trácese el arco G. B., y desde el punto B. el A. F.; y desde el F. G. Imitación de la elipse, sobre los ejes mayor y menor dados. Sea el eje mayor A. B. y el menor G. D. Fig. 73. Únanse estos puntos por medio de las líneas A. D.—D. B.—B. G. y C. A. La ^distancia O. D. trasládese á derecha é izquierda del punto O. en él eje ma- yor, y se tendrán los puntos F. G. La distancia A. F. trasládese desde. D. á I. y desde G. á J. K. Divídanse las líneas A. H. y A. J. — I. B. y B. K. por mitad con sendas líneas que se encontrarán en M. N. Desde P. descríbase el arco R. A. S., desde Q. descríbase el V. B. X., asi como desde M. descríbase el R. D. V. y desde N. el S. G. X. De este mismo problema puede deducirse el sistema para trazar el arco escarzano. 29. Trazo de elipses. Para trazar una eclipse sobre un terreno, madero ó superficie de grandes dimensiones, crúcense, perpendicularmente los ejes mayor y menor: y con una extensión igual al semi-eje mayor, y desde un extremo del menor, trácense sobre el primero los dos focos, empleando al efecto el compás de varas ó la cuerda. Átese en estos dos focos un cordón igual á la longitud del eje mayor, y siguiendo la dilatación del cordón puede trazarse la verdadera elipse. — 27 — Aunque para trazar elipses en pequeña escala existan compases especiales de distintos sistemas, sin embargo para el manejo de cualquiera de ellos se requiere una práctica que no es fácil adqui- rir atendido lo poco frecuentes que son los casos en que el trazo de una elipse es menester, siendo preferible trazar esta figura por los medios siguientes: 1.° Por medio de normales. Fig. 74. Crúcense los dos ejes A. B. C. D. Por el centro O. trácense dos circunferencias concéntricas, una con el radio del eje mayor, y otra con el del menor. En estas circun- ferencias trácense diámetros de modo que queden estas divididas en partes iguales. Únanse verti- calmente los extremos de los diá- metros de la circunferencia mayor á sus opuestos por líneas que llamaremos normales. Desde cada una de las intersecciones formadas por los diámetros en la cir- cunferencia trazada con el radio del eje menor trácense paralelas aleje mayor hasta encontrar la normal que coresponda en orden: y por estos puntos de encuentro debe trazarse á pulso la elipse. Tomando un semi-eje mayor, y trazando intersecciones á derecha é izquierda del mismo desde uno de los extremos del menor, quedarán determinados los focos. 2.° Por medio de regleta. Practíquese la primera operación como en el anterior número: y en lugar de unir verticalmente los extre- mos de los diámetros trazados, marqúese en una regleta ó cinta, la longitud del semi-eje mayor A. O.; y dentro de ella, y desde uno de sus extremos, marqúese el semi-eje menor O. G. Con las distancias que dé la regleta ó cinta colocada de modo que tenga siempre A. sobre el eje menor, y C. sobre el mayor, partiendo des- de el extremo del menor, marqúense puntos en cada uno de los radios, y por ellos trácese á pulso la elipse. TRATADO III FORMAS Y PROPORCIONES 1. Las artes que hemos llamado de imitación, como son la Pintura y la Escultura, tienen en cada uno de los seres de la Na- turaleza un modelo: los que hemos llamado de Construcción, como son las arquitectónicas, tienen una teoría originaria que produce como forma fundamental lo que suele llamarse Orden arquitectónico : Los elementos de las artes de imitación combinados con los prin- cipios de los de construcción constituyen el Adorno. 2. El modelo principal que la Naturaleza ofrece á la Escultura y á la Pintura es el Ser humano. Este ser consta de tronco y ex- tremidades. El tronco es la caja del cuerpo desde la barba á la horcajadura ó ángulo que forman las dos piernas en su naci- miento: y se divide en columna vertebral, pecho y pelvis. Las ex- tremidades se dividen; en superior, que es la cabeza la cual se sub- divide en cráneo y en mandíbulas: laterales cada una de los cuales se subdivide en hombro, brazo, antebrazo y mano; é inferiores cada una de las cuales se subdivide en muslo, rodilla pierna y pié. 3. El Orden arquitectónico es un compuesto de cuatro partes principales á las que se da el nombre de miembros. Estos constan de varias partes con accidentes particulares que pueden compren- derse con el nombre de Molduras. — 29 — Los miembros arquitectónicos principales son. Fig. 75.—I. pedestal.—II. columna.— III. cornisamento.—IV. frontón. El pedes- tal consta de sócalo A., dado B., y cornisa C,—la columna consta de base D., fuste E., y capitel F. — el cornisamento consta de arquitrabe G., friso H._, y cornisa I.— el frontón solo cuenta el tímpano J. y la cornisa K. Debe sin embargo advertirse que si en muchas ocasiones se prescinde del pedestal, nunca puede omitirse el cor- nisamento : y que si en algun caso puede suprimirse la base; nunca debe prescin- dirse del capitel. Todos estos miembros están accidentados por molduras de dos clases, las rectilíneas y las curvilíneas: las primeras son: filete ó listel, \ chaflán ó bisel.. las curvilíneas son: esgucio ó media caña, c cuarto bocel, d flg. 76. bocel ó toro. e Junquillo ó baquetilla f Gola ó talón derecho. g Gola ó talón inverso. h Escocia. i / y todas estas molduras curvilíneas deben afectar una curva mas bien elíptica que circular, y trazarse á pulso mas bien que con el compás; de este modo tienen más carácter artístico. = Ç Z7 c X i JL Fig. 76. — 30 — 4. Tanto las artes de imitación como las de construcción exijen el conocimiento de las Proporciones. Proporción es mútua correspondencia de dimensiones entre las partes principales y las secundarias, y de cada una de ellas con el todo: es la verdadera Simetría, lo cual no debe confundirse, como sucede comunmente, con la Euritima, que consiste en la mútua correspondencia de partes semejantes. 5. Toda proporción debe estar fundada en una unidad de me- dida. Esta unidad debe tomarse de una de las partes mas nota- bles del objeto que se toma por modelo ó sirve para la construc- ción: así en el ser humano suele tomarse por unidad la cabeza: en el cuerpo arquitectónico suele tomarse el diámetro inferior de la columna, módulo, si bien algunos adoptan solo el radio. 6. La estatura fundamental del ser humano es la que mide 8 cabezas, cuya unidad de medida se subdivíde en 4 partes igua- les, una para la región del cabello, otra para la frente hasta la lí- nea de los ojos, otra hasta debajo de la nariz, y otra hasta la pun- ta de la barba. Desde este punto debe contarse la longitud de una cabeza nasta debajo de los pechos: otra hasta el ombligo: otra has- ta la horcajadura: otra hasta la mitad del muslo: otra hasta deba- jo de la rodilla: otrahasta debajo de,la pantorrilla: y de aquí hasta la planta del pié. La anchura de los hombros debe ser de 8 partes: la délas caderas debe ser de 6. La longitud del brazo desde el hombro hasta el codo, debe ser de unas 6 partes, y de otras tantas desde el codo hasta la muñeca: la mano solo tiene 3 partes. La diferencia de sexos produce alguna en la longitud del tronco; el cual es un tanto mayor en la mujer; en la anchura de las cade- ras que es casi igual en esta á la de sus hombros; y en las dimen- siones del rostro que son también en ella algo mas reducidas. La diferencia de edades produce también otras diferencias; y en la necesidad de fijar una, tomemos la media de la infancia en cuya época la estatura solo suele medir 5 cabezas, dando 2 al tronco, y otras dos á las piernas: debiendo tenerse en cuenta que en el creci- miento del niño, toman mayor estension las partes inferiores que las superiores, siendo la cabeza la que menos crecimiento al- canza. 7. En el orden arquitectónico las proporciones constituyen en su mayor parte los tres caracteres del Estilo á saber: el robusto, el gentil y el florido. De todos modos la columna puede medir des- — 31 — de 6 á 10 diámetros según conviniere á dichos caracteres; pero siempre el cornisamento ha de medir á lo menos V* de la colum- na; y el pedestal */a de esta. En el carácter, robusto la an- chura, como se deja entender, deberá tener algun predominio constituyendo cierta majestad: en el gentil la anchura y la altu- ra deberán equilibrarse de modo que constituyan la elegancia: en el estilo florido la elegancia tiende á la gracia y á la riqueza. Estos caracteres se clasifican históricamente como órdenes, así: el orden dórico el jónico y el corintio: y si bien cuentan algunos el toscano y el compuesto ó el romano, sin embargo aquel no es más que una variedad del dórico, y este lo es del corintio. El capitel dórico se distingue por su sencillez, y podria decirse que está en capullo fig. 77. El jónico se distingue por las volutas de sus fachadas principal y posterior fig. 78, y por los cojinetes de Fig. 77. Fig. 78. Fig. 79. Fig. 80. las laterales fig. 79: el corintio presenta gran riqueza de adornos, pudiendo decirse que está en flor fig. 80. Hay también capiteles que se califican de historiados porque llevan figuras humanas más ó menos alegóricas. Los fustes de las columnas suelen disminuir en línea curva suave desde el imoscapo, (parte inferior) al sumoscapo (parte superior) casi Vs ¿el módulo: en el dibujo se toma su disminución en línea recta, desde el tercio de su altura. Los fustes pueden ser lisos 6 estriados, y tales estrias ó canales pueden separarse por aristas, como se ve en la fig. 77; ó por listeles, como en la 82. Las bases pueden ser dóricas ó áticas: la dórica consta de un plinto y un toro, Fig. 81; la ática consta de dos toros intermedia- F i g . 81. Fig. 82. — 31 — de 6 á 10 diámetros según conviniere á dichos caracteres; pero siempre el cornisamento ha de medir á lo menos V* de la colum- na; y el pedestal */a de esta. En el carácter, robusto la an- chura, como se deja entender, deberá tener algun predominio constituyendo cierta majestad: en el gentil la anchura y la altu- ra deberán equilibrarse de modo que constituyan la elegancia: en el estilo florido la elegancia tiende á la gracia y á la riqueza. Estos caracteres se clasifican históricamente como órdenes, así: el orden dórico el jónico y el corintio: y si bien cuentan algunos el toscano y el compuesto ó el romano, sin embargo aquel no es más que una variedad del dórico, y este lo es del corintio. El capitel dórico se distingue por su sencillez, y podria decirse que está en capullo fig. 77. El jónico se distingue por las volutas de sus fachadas principal y posterior fig. 78, y por los cojinetes de Fig. 77. Fig. 78. Fig. 79. Fig. 80. las laterales fig. 79: el corintio presenta gran riqueza de adornos, pudiendo decirse que está en flor fig. 80. Hay también capiteles que se califican de historiados porque llevan figuras humanas más ó menos alegóricas. Los fustes de las columnas suelen disminuir en línea curva suave desde el imoscapo, (parte inferior) al sumoscapo (parte superior) casi Vs ¿el módulo: en el dibujo se toma su disminución en línea recta, desde el tercio de su altura. Los fustes pueden ser lisos 6 estriados, y tales estrias ó canales pueden separarse por aristas, como se ve en la fig. 77; ó por listeles, como en la 82. Las bases pueden ser dóricas ó áticas: la dórica consta de un plinto y un toro, Fig. 81; la ática consta de dos toros intermedia- F i g . 81. Fig. 82. — 33 — gase sin embargo en cuenta que siendo la diagonal del cuadrado, mayor que el lado de este, no es posible emplear siempre unos mismos diagramas, ni es posible que los lineamientos sean en muchos casos más que centros de los listeles, no pudiendo ser siempre igual la latitud de estos á sus intersticios De aqui la difi- cultad y aun imposibilidad de establecer un sistema para las lace- rias de diagrama complexo, como existe para el meandro y la lace- ria simple, siendo indispensable formar uno especial para cada caso. 9. Las proporciones del cuerpo humano, deque se habla en el párrafo 6, mas deben buscarse en el aparato de los huesos (osteo- logía) que en el de los músculos (miología). 10. Las dimensiones de un objeto representado en dibujo geomé- trico se indican por medio de una escala,, la cual se traza al pié de ta- les dibujos por medio de una línea, doble, para la unidad de medida, sencilla para las subdivisiones; numerada de izquierda á derecha en las primeras, y de derecha á izquierda en la segunda. Fig. 86. Para mayor exactitud en las divisiones puede emplearse la esca- la modulatoria, fig. 87. Como puede comprenderse, los guarismos desde 1 á 5 colocados horizontalmente indican el número de unida- des que la escala contiene, y los colocados verticalmente desde 1 á 10 indican la subdivisión. Las distancias 10 á 9.—9 á 8 . - 8 á 7. etc. tienen extensión arbitraria, pero han de ser iguales entre si. La escala de proporciones, se establece trazando un triángulo arbitrariamente, Fig, 88, con líneas horizontales adaptadas á la escala métrica, paralelas á la base. Sea R. P. la mayor de las di- mensiones del dibujo dado, y T. S. la dimensión á que haya de re- ducirse. En el triángulo A. B. C. búsquese con la escala graduada la paralela igual á R. P.; y sea esta linea X. Z. Marqúese en su > longitud la T. S. que será X. M. por este punto trácese la línea — 34 — C. M. Ahora bien, para reducir un detalle cualquiera del dibujo dado no habrá más que buscar sus dimensiones reales, colo- carlas en la línea correspondiente del trián- gulo A. B. C. y cerrar después el compás sobre ella misma hasta encontrar la línea C. M. desde el lado A. G. del triángulo. 11. Uno de los medios para proporcio- nar, aunque el más material de todos, es la cuadrícula, la cual puesta delante del mo- delo, puede este reproducirse en escala mayor ó menor, como lo puede ser en es- cala igual, según se quisiere; y la copia no podrá menos de tener las proporciones convenientes. Trazar una buena cuadrícula es operación más difícil de lo que comunmente se considera, por razón tanto del modo de trazar como de la exactitud de los instrumentos, y de la finura del trazo. La práctica en el uso de la regla, de la escuadra y del compás, es lo que puede dar esa bondad. Comprobación de la exactitud de la cuadrícula son: el trazo de diagonales, y la inscripción de circun- ferencias en los cuadrados; de modo que en una cuadrícula exacta las diagonales coincidirán en los ángulos opuestos de todos los cuadrados; y las circunferencias que en estos se inscriban serán perfectamente tangentes á los lados de ellos. 12. Como apéndice al Tratado de las proporciones deben con- siderarse algunas observaciones que vamos á hacer sobre los me- dios materiales de reproducir cláusulas, especialmente de ador- no, en un mismo dibujo. Por otra parte las escalas y las cuadricu- las ¿no son medios de reproducción como lo son de proporción? Los medios más materiales de reproducción en el dibujo son el calco y el estarcido. El calco es la copia de un objeto gráficamente representado, obtenido pasando los perfiles del modelo: el estar- cido es el dibujo que resulta por presión ó roce del calco sobre la superficie en que fuere menester. El estarcido puede abreviarse por presión, esto es, restregando el calco por el dorso sobre el papel ó tela en que se quisiere repro- ducir: pero téngase entendido, que si el calco se hubiere sacado en papel transparente, será menester restregar, ya no inmediata- mente sobre él, sino interponiendo otro papel, porque de otra manera aquel se abollará y no será posible reproducir después exactamente los lincamientos. TRATADO IV. PROYECCIONES. 1. Las artes de construcción, como son todas las arquitectóni- cas, exijen el dibujo de las proyecciones, á fin de dar razón de las formas reales de los objetos, y de que pueden estos ejecutarse, lo que no seria posible si se presentaran sus proyectos tales cuales nuestros ojos alcanzan á verlos, esto es, perspectivamente. 2. Quedan ya indicados los aspectos bajo los cuales pueden presentarse las proyecciones: el ignográfico y el ortográfico (§ 6 Trat. preliminar). Veamos en que consisten uno y otro. Ignografía ó proyección horizontal de un objeto es el dibujo de este objeto, marcado por los extremos de las líneas que desde todos sus puntos van perpendicularmente al plano horizontal. Ortografía ó proyección vertical, 6 alzado de un objeto, es el dibujo de este marcado por los extremos de las líneas que desde todos sus puntos van perpendicularmente al plano vertical. 3. Todos los accidentes que no pueden aparecer ni en la pro- yección ignográfica ni en la ortográfica, se presentan por seccio- nes en que aparecen los interiores ya en corte ya en perfil: siendo su estudio de mucha importancia, aunque no propios de un tratado rudimental. — 36 — PROBLEMAS. M 1.° Las proyecciones ignográfica y ortográ- fica del punto están representadas por los extremos de las líneas que partiendo de él van perpendicularmente á los planos vertical y horizontal. Fig. 89. Sea A. el punto dado en el espacio. \\ c L O. L. T. P . el plano horizontal. M. N. T. L. el plano vertical. F¡s 89 - - Trácese desde el punto A. la perpendicular A. C: el extremo C. por el que esta perpendicular toca al plano h o - rizontal , es la proyección horizontal del punto A. Desde este mismo punto A. trácese la perpendicular A. B. y el extremo B. por el que esta perpendicular toca al plano vertical es la proyección vertical del mismo punto A. Como al dibujar se trabaja sobre un solo pla- no, los planos de las proyecciones vertical y horizontal han de representarse á continuación el uno del otro : debiendo suponerse que el plano horizontal L. T. P. O., se ha colocado en la misma dirección que el M. N. T. L. ó vice- versa. Fig. 90. De manera que la figura 80 no debe considerarse mas que como una explica- ción material de la 90. Consecuencias: I. La distancia de un punto situado en el espa- cio, al plano horizontal está indicada en el vertical por la perpen- dicular tirada desde dicho punto á la línea del suelo. La distancia que separa al mismo punto situado en el espacio, al plano vertical está indicada en el horizontal, por la perpendicu- lar que va desde el referido punto va á la misma línea del suelo, que no es mas que la de unión de los dos planos. II. Se obtienen las proyecciones de una línea situada de una manera cualquiera en el espa- B cio, determinando en ambos planos vertical y \ r horizontal los varios puntos que la forman. A Fig. 91. C \ \ Supóngase que desde todos los puntos de la VI) línea A. B. se trazan perpendiculares á los dos Fig. 91. planos de proyección: la línea C. D. que forma - 37 — los extremos de todas las perpendiculares dirigidas al plano hori- zontal es la proyección horizontal de la línea dada en el espacio, asi como la proyección vertical de esta línea es la E. F. que está formada por los extremos de todas las perpendiculares trazadas desde todos los puntos de la línea dada A. B. y dirigidas al pla- no vertical. En la práctica, cuando se trata de combinar las • proyecciones de una recta cualquiera, por ejem- B A £ F plo la A. B. de la misma fig. 91, se buscan desde luego las proyecciones vertical y horizontal de los dos extremos de la línea dada, uniéndose desde luego por rectas. Fig. 92. Déjase pues compren- der que para tener las proyecciones de una línea C /) cortada, es indispensable buscar las proyecciones ii \ de cada una de las secciones de que se componga. Igualmente que para hallar las proyecciones de una Fig. 92. línea curva es indispensable buscar las de gran número de puntos, uniéndolos después por líneas á pulso. Consecuencias. Toda recta situada sobre uno de los planos de proyección se proyecta en este plano por otra recta igual, y en el otro plano por otra que estará sobre la línea del suelo. Toda recta oblicua respecto de uno de los dos planos se proyec- ta sobre este plano con dimensiones reducidas. Toda recta paralela á uno de los dos planos de proyección se proyecta en este plano por una recta igual, y en el otro por una paralela á la línea del suelo. Toda recta perpendicular á uno de los planos de proyección se proyecta en este plano por un punto, y en el otro por una perpen- dicular á la línea del suelo. III. Las proyecciones de una superficie plana se determinan buscando las proyec- ciones de las líneas que constituyen sus lími- tes. Fig. 93. Sea el cuadrado A. B. C. D. Desde cada uno de estos puntos trácense perpendiculares á los dos planos de proyec- ción respectivamente. Ünanse después los extremos de estas perpendiculares, y se ten- - 38 — drán E. F. G. H., proyección horizontal dol cuadrado propuesto; y I. S. K. L. proyección vertical del mismo. Véase fig. 94. Consecuencias. Toda superficie plana situada sobre uno de los planos de proyec- ción, se proyecta en este plano por una figura igual, y en el otro por una recta situada sobre la línea del suelo. Toda superficie plana paralela á uno de los planos de proyec- cion, se proyecta en este plano por una figura igual, y en el otro por una paralela á la línea del suelo. Toda superficie plana oblicua á la vez á los dos planos de proyección se proyecta en cada uno de estos planos con dimensiones reducidas (escorzada ó en escorzo), fig. 94. Toda superficie plana, perpendicular á uno de los planos de proyección se proyecta en este plano por una recta; y sobre el otro, por una línea recta, ó una figura igual, ó una figura reducida (escor- zada), según que esta superficie esté al mismo tiempo en una posición perpendicular, paralela V i oblicua, respecto de este segundo plano, proyecciones de un poliedro se determinan buscando las de sus ángulos; porque estas proyecciones dan las de sus aristas, y por consiguiente las de sus caras: con lo cual pueden reconocerse todas las dimensiones del sólido. Fig. 85. Esta figura solo ofrece la manera como en la práctica se presentarían las dimensiones de una pirámide exagonal. 1 La planta ó proyección ignográfica s. b. a. f. e. g. h. lleva perpendiculares desde cada nno de sus ángulos á la proyección ortográfica ó al - I zado; quedando cubiertas las aristas G. H. La altura de esta proyección vertical está in- dicada por O. S. que en la planta están confun- Fig. 95. didos, pues que s. oculta á ó. V. La proyección horizontal de un territorio constituye el di- bujo topográfico. Por las operaciones que la Geodesia enseña, se tendrán las curcas de nivel que no son mas que los distintos cor- tes dados á las accidentaciones del terreno. Siempre será un contrasentido en un plano topográfico la repre- sentación en proyección vertical 6 en perspectiva de los objetos que se encuentren en el territorio topográfiado. TRATADO V PERSPECTIVA 1. La Perspectiva es el arte de representar en una superficie los objetos que la Naturaleza ofrece de una voz a la vista á varias distancias. 2. Es lineal ó aérea. La lineal es la que determina los contornos aparentes de los ob- jetos; la aérea es la que determina los efectos aparentes de la luz: la lineal está fundada en principios geométricos; la aérea procede, en mucha parte, del sentimiento, y es complementaria de la li- neal. P E R S P E C T I V A LINEAL. 3. Supóngase que el objeto A. fig. 96 está colocado en un pla- no horizontal X. Z.,,y. que per- pendicularmente á este plano se I eleva otro trasparente B. Si desde todos los puntos del objeto se tra- zaren líneas convergentes al ojo atravesando el cuadro transparente, se sentirá la impresión perspectiva del objeto: la cual se — 40 — aumentará con el prestigio del claroscuro y del colorido. No podrá menos de comprenderse que presentado el cuadro de frente, así como aquí está de perfil, serán menester operaciones que diferi- rán entre sí, pero en consideración análoga. Para ello es indispensable conocer antes de todo qué se entiende por cuadro ó plano perspectivo—por plano geométrico—linea del nioel ó del horizonte—punto de vista—cono óptico — y punto de distancia. 4. Cuadro ó plano perspectivo es la superficie donde el pintor representa los objetos; debe suponerse que es el plano traspa- rente al través del cual se ven los objetos escenográficamente, (perspectivamente.) 5. Plano geométrico es el plano horizontal sobre el cual se su- pone que descansa verticalmente el cuadro; y está destinado á r e - cibir las proyecciones de los objetos que se quisieren poner en perspectiva: siendo la línea del suelo ó base del cuadro la de in- tersección del cuadro con el plano geométrico. 6. La linea del nivel ó del horizonte es la paralela á la del suelo, á la altura de la vista del espectador. La que ofrece la Mar ó una gran llanura, se la llama linea del horizonte real, así como es ficticia la que el pintor supone y aun traza en el cuadro. La lí- nea del horizonte real sube ó baja según el espectador se coloque á mayor ó á menor altura: asi, los objetos que están al nivel de la vista los vemos en la línea del horizonte , los que están mas arriba de la vista los vemos encima de esta línea : los que están mas abajo los vemos debajo de ella. 7. El punto de vista ó punto del ojo es aquel que el artista fija en la línea del horizonte por una perpendicular que parte de su vista; y constituye el centro del cono óptico. 8. Cono óptico es el conjunto de rayos de luz que partiendo desde todos los puntos de un objeto se reúnen en el centro de la pupila. Se llama así porque siendo nuestro ojo circular, abraza una extensión también circular que constituye el círculo óptico, base del cono. * 9. El punto de distancia es el espacio que separa del objeto al espectador; debe marcarse á derecha é izquierda del punto de vista en la línea del horizonte. Esta distancia la elige el pintor ar- bitrariamente. 10. Tres observaciones hay además que hacer y que conviene — 41 — tener presentes para «resolver los problemas de la perspectiva li- neal; á saber: I. Los objetos de forma igual situados en el mismo plano ver- tical paralelo al plano perspectivo deben representarse con forma igual: los situados en distintos planos forman una escala de degra- dación, Fig. 97. Línea del suelo T., A.,—línea del horizonte H., E.,— punto de vista V.—objetos iguales, D. D. D. D. Fig. 97. II. Los puntos de vista y de distancia gozan de dos propiedades que sirven de base á la teoría científica de la Perspectiva.— 1.a Todas las líneas perpendiculares al plano del cuadro, son tam- bién perpendiculares á la línea del suelo, y concurren el punto de vista.—2.a Todas las líneas paralelas entre sí y cuyas proyeccio- nes horizontales forman un ángulo de 45 grados con la línea del suelo van á uno de los dos puntos que señalan la distancia. III. Los distintos puntos de líneas horizontales paralelas entre sí que no son perpendiculares á la línea del suelo y que no forman con esta los 45°, van á otros tantos puntos particulares situados en la linea del horizonte, y se llaman accidentales. 11. PROBLEMAS. —Perspectiva de un PUNTO, Fig. 98. ~J: Fig. 98 — 42 — Sea T. T., la línea del suelo, D. D., la línaa del horizonte, Y. el punto de vista y D., el de distancia. Sea B., el punto dado del cuadrado A. B. G. E. Trácese la per- pendicular B. d.:y desde este punto d. descríbase el arco B. e. en sentido opuesto á aquel que indique la distancia. La línea B. d., per- pendicular á la línea del suelo tiene su perspectiva en la d. V., que va al punto de vista: la línea B. d. con inclinación de 45°. respec- to de lalínea del suelo, tiene su perspectiva en la recta e. D., que va al punto de distancia: el punto de intersección de estas dos líneas que es b. es la perspectiva del punto dado, B. —Perspectiva de una LÍNEA. La misma fig. 98. Supóngase que la línea está situada en sentido paralelo al cua- dro. B. A. Procédase como en el problema precedente á fin de tener los puntos extremos de la línea: únanse estos puntos , y se tendrá la perspectiva de la línea propuesta. —Perspectiva de una SUPERFICIE. La misma fig. 98.—Supóngase un cuadrado situado también en sentido paralelo al cuadro, A. B. E. C. Búsquese la perspectiva de cada uno de sus cuatro ángulos, como en los dos problemas precedentes: únanse los cuatro puntos dos á dos; y se tendrá a b e c que será la perspectiva pedida. Supóngase ahora que el cuadrado está en losange, esto es, si- tuado de modo que sea la diagonal la perpendicular á la línea del suelo, Fig. 99. F i g . 99. Desde el punto A. trácese una línea al punto de vista V., y otra al de distancia D.—trácense las perpendiculares B., b. E., e. y di- ríjanse al punto de vista las líneas b. V.—e. V.; y quedará determi- nado el punto c . Trácese por este punto c. una paralela ala línea — 43 _ del suelo á fin de obtener el punto d. Uñase este punto con el de distancia D., y se tendrá el. c. Por último trácense las líneas d/A. —c. x., y se tendrá la figura A. d. c. x. que será la perspectiva pedida. Supóngase un triángulo situado oblicuamente al plano del cua- dro, Fig. 100. Determínese separadamente la perspectiva de cada F i s . 100. uno de sus ángulos, como queda dicho al determinar la perspecti- va de un punto, y se tendrá a. b. c. que será la perspectiva pe- dida. Supóngase un exágono paralelo á la línea del suelo A. B. C. E. F. G. Fig. 101.—Desde estos puntos trácense las perpendiculares Fig. 101. — 44 — á la línea'del suelo, y desde los puntos que resulten en esta línea trácense otras líneas al punto de vista V.. Por medio de los cuadran- tes, como se marca en la figura, búsquese la perspectiva délos pun- tos correspondientes á E. F. G., y por estos puntos trácense para- lelas á la línea del suelo, y quedarán determinados los ángulos opuestos. Por último únanse todos estos puntos dos á dos y se ten- drá la perspectiva del exágono propuesto. Supóngase un octógono paralelo al plano del cuadro, fig. 102. —Fórmese el cuadrado l. m. n. p., y póngase en perspectiva por los sistemas esplicados, lo mismo que las rectas A. G. B. F. llevándo- las todas al punto de vista V. Hágase otro tanto con la diagonal p. m. llevándola al punto de distancia de r á D. Por los puntos de intersección de esta línea D. con las que van á V. trácense parale- las á la línea del suelo: fíjense después, y trácese por último el octógono conforme puede verse en la figura. —Perspectiva de una CIRCUNFERENCIA. Puede resolverse este pro- blema procediendo como en el problema anterior, trazando por último curvas á pulso en lugar de rectas como lados de un polígo- no, fig. 103. —Para SUPLIR UN PUNTO DE DISTANCIA que esté fuera del cuadro no hay mas que tomar una parte fija de la línea que va desde el punto de vista V.1 al de distancia D. Fig. 104, como por ejemplo la mitad X, é igual parte x en la línea del suelo; y se hallará que los puntos de intersección perspectivos serán los mismos z. . z. - 45 — —Perspectiva de un CUBO perpendicular al plano del cuadro, fig. 105. Póngase en perspectiva la base inferior A. B. F. E. por los procedimientos explicados, y levántense perpendiculares inde- finidas en los ángulos. Para determinar la altura de estas perpen- 5__ Fig. 103. diculares, téngase en cuenta, que la cara anterior es paralela al cuadro ó plano perspectivo, por consiguiente debe presentar en pers- pectiva un cuadrado con lados iguales á la línea a. b. Levántense Fig. 104. — 46 — a. b. hasta c. i., y únase c. i. Llévense en seguida estos dos puntos al de vista V. y se tendrán los g. h. .9 h 1 ""•"'•* d^ / c F E H cB A í " Fig. 105. —Perspectiva de UN CUBO oblicuo al plano del cuadro. Fig. 106. Póngase en perspectiva la base inferior A. B. G. E. por los pro- c al Fig. 106. cedimientos explicados. Desde el punto de distancia D. bájese una perpendicular á la línea del suelo; y desde este punto trácese una línea al de vista V., asi como debe trazarse otra al mismo pun- — 47 — to desde la altura del cubo, que aquí es X. Desde los cuatro puntos de la planta llévense paralelas hasta z. V., y en estos puntos le- vántense perpendiculares hasta x. V. y se tendrán las alturas del cubo, que podrán llevarse cada á uno de los lados del misino, preventivamente levantados. —Perspectiva de UN PRISMA EXAGOKAL. Fig. 107. Póngase en pers- • ' "£—W R:y -f 0 / / '\JA (n y \ ir' Fig. 107. pectiva por los procedimientos ya mencionados la base a. b. c. d. e.f., sirviéndose de la planta A. B. C. D. E. F., y levántense per- pendiculares indefinidas en cada uno de dichos puntos. Sobre la línea b. y la c. marqúese la altura del prisma y llévense estos pun- tos al de vista V. Por los puntos p. d. q. trácense paralelas á la línea del suelo, y señálense las alturas, que serán las de las aris- tas. Llévense estas alturas al punto de vista V. y complétese la perspectiva del prisma uniendo dos á dos las extremidades de las aristas, por rectas, que con las de la base, concurran á los mis- mos puntos de la línea del horizonte. PERSPECTIVA AÉREA. 1. Enseña el grado de luz que deben reflejar los objetos ó sus partes, según la distancia á que quieran suponerse. — 48 — 2. Debemos prescindir aquí de todo color y ceñirnos á lo que se llama claroscuro, el cual es una hipótesis, pues nada hay en la naturaleza que no tenga un color. El claroscuro da razón de lo que se llama modelado. El modelado es la accidentacion que pueden tener los objetos constituyendo las verdaderas formas de ellos. 3. Al hacer aplicación del claroscuro á un dibujo, debe tenerse en cuenta:—la calidad de la luz que debe iluminar el objeto, la dirección de sus rayos, los efectos que una y otra circunstancia pueden producir; y últimamente la adumbración, 6 sea, el modo de dar razón de ambos efectos. Calidad de la luz. 4. Esta circunstancia se refiere mas bien al color; sin embargo por lo que hace al claroscuro, conviene indicar, que la del sol es la que determina mejor los efectos del claroscuro: pues aunque la luz artificial produce iguales efectos en conjunto, no asi en los varios detalles. Dirección de la luz. 5. Suele presentarse inclinada desde la parte superior izquier- da á la inferior derecha, y declinada desde la parte anterior á la posterior; inclinación y declinación representadas por la diagonal del cubo, esto es, á 45°. Se ha adoptado esta dirección muy especialmente en los proyec- tos arquitectónicos, porque de este modo, al paso que se equili- bran las masas iluminadas con las sombrías, se da idea de cier tas alturas y de ciertos vuelos por medio de la sombra que pro- yectan sobre el plano inmediato, en atención á que esta sombra tiene igual extensión que tales alturas y vuelos. Efectos de la luz. 6. En todo objeto iluminado deben distinguirse dos clases de sombra: la propia, y la arrojada. Eu la propia se distinguen dos regiones, la del claro y la del oscuro. La primera es la que recibe luz aunque más ó menos directamente: la segunda es aquella que no recibe del mismo cuerpo luminoso rayo alguno directo. La sombra arrojada es la que el cuerpo iluminado proyecta en la su- — 49 — perflcie que tiene junto á sí, y en la parte opuesta á la luz : y se le da á esta sombra el nombre de esbatimento. 7. En los cuerpos redondos el golpe de luz está en el punto o puntos de la región del claro que reciben directamente los rayos del cuerpo luminoso, y el resto está cubierto con medias tintas. El golpe de oscuro está en la parte opuesta quedando el resto pa- ra los reflejos. 8. En la región del oscuro se producen en ciertos casos, efec- tos especiales, especialmente cuando se interpone algun cuerpo que impide el paso de la luz reflejada: á tales efectos se les dá el nombre de privaciones de reflejo. 9. En los cuerpos redondos es inapreciable el límite que separa la región del claro de la del oscuro; al paso que los puntos de la parte iluminada van recibiendo la luz más oblicuamente á medida que van acercándose á la región sombría, y los de la sombría van recibiéndola á medida que van acercándose á la iluminada; de manera que entre el golpe del claro y el del oscuro se produce lo que puede llamarse degradación de luz. 10. Como consecuencia de lo que se ha indicado hasta aquí, tendremos: que los efectos de la luz en la región del claro son: golpe de luz medias tintas en la región del oscuro: golpe de oscuro reflejos privaciones de reflejo esbatimento. 11. Aunque propiamente hablando la Perspectiva aérea no está sometida como la lineal á principios geométricos; sin embargo la teoría científica de las sombras arrojadas puede servir de mucho para complementarla. A este efecto continuaremos algunos de los problemas más elementales. Pero antes de todo conviene sentar al- *-; gunos principios auxiliares: Tales son. I. Los rayos de luz que iluminan los " objetos deben considerarse pararelos NpiÉi#ïr i -"rw=r^ " l i l i G S I . : ' "gftis^Jr¿a,1-w-t¿M II. Todo vuelo proyecta esbatimento. I . "' determinado por la tangente, de confor- Fig 10g midad con la inclinación que se hubiere dado á !a luz. Fig. 108. 4 — 50 — III. La región sombría, dada la luz á 45°, se determina en un cuerpo redondo con tanta mayor extensión cuanto más perpendicu- lares sean á la línea del suelo las superficies de que dicho cuerpo constare. IV. Toda superficie paralela á un plano, proyecta en este plano una sombra igual y paralela á ella. V. Toda perpendicular á un plano de proyección arroja la som- bra sobre este plano siguiendo una recta que forma ángulo de 45° con la línea del suelo. VI. Un objeto., cuanto más verticalmente reciba los rayos de luz, producirá en los contiguos esbatimento mas reducido, siendo más extenso el que sobre sus superficies produzcan sus partes voladi- zas: y al contrario, cuanto más oblicuamente reciba dichos rayos. PROBLEMAS: Determinar el punto medio entre la región clarea y la oscura. Fig. 109. Sea la planta del cilindro O. Trácese la línea de dirección de la luz pasando por el centro de la planta C. D. Sobre este cen- tro trácense las tangentes en los puntos A. B., y los puntos E. F. indicarán el golpe de luz, E. y el de oscuro, F. Determinar la sombra proyectada sobre un plano vertical por un cuadrado paralelo á este plano. Fig. 110. Por los puntos a fe de a i » ^ -f>. AÍÍ o F £ Fig. 109. F i g . 110. Fig. n i . la planta, trácense paralelas al rayo de luz hasta encontrar la línea del plano vertical m n. Levántense en estos dos puntos, perpendi- culares indefinidas, las cuales deberán cortarse por las líneas tam- bién paralelas al rayo de luz del alzado, que partan de los puntos - 51 — A. B. M. N.; y quedará resuelto el problema. La misma, ó análoga práctica requiere la resolución del que se refiere á la fig. 111. Determinar la sombra que sobre una superficie vertical acci- dentada por molduras, proyecta un cuadrado perpendicular á los dos planos de proyección. Fig. 112. Sean las molduras A. del mar- co de una ventana, llevadas al plano vertical X. Sea el postigo B., que corresponde al D. E. del mismo plano. Trácense á 45°, la línea B. O. que será paralela al rayo de luz del plano horizontal; y las líneas E. F. —D. C paralelas al rayo de. luz del plano vertical. Uñase C. con F., y se tendrá la sombra proyectada por el posti- go B. correspondiente al D. E. del plano vertical sobre las mol- duras A. Determinar la sombra de un disco sobre un cilindro. Fig. 113. Marqúense paralelas al rayo de luz directo, tales como A. B. C. D. E., en la planta. Súbanse estos puntos á la proyección vertical a. b. c. d. e. Desde estos puntos trácense paralelas al rayo directo de la luz; F i g . 112. Fig. 113. Fig. 114. y los puntos en que se encuentren con las F. G. H. I., que previa- mente deberán haberse levantado de la planta, marcarán el esbati- mento·del disco sobre el cilindro. Determinar la sombra de un abaco ó ladrillo cuadrado sobre — 52 — un cilindro. Fig. 114. El procedimiento es igual al del anterior pro- blema: el resultado es diferente por razón de la forma distinta que tiene el cuerpo que produce el esbatimento, como puede verse. Determinar la sombra de una hornacina de fachada rectangu- lar y de planta circular. Fig. 115. Divídase la parte superior de la hornacina en las partes iguales que se quisiere. Trasládense estas partes á la planta: y desde estos puntos diríjanse á 45° paralelas al rayo de luz hasta el seno circular de la hornacina a. b. que r e - sultaren. Desde estos puntos levántense verticales hasta encontrar las paralelas al rayo de luz que previamente deben haberse traza- do en los puntos 1. 2. 3. 4. etc. del alzado: y los puntos de inter- sección de dichas verticales con las paralelas últimamente indica- das determinarán la línea de la sombra. LS.SLi • ' 1-5--' j -; . - Determinar la sombra de una hornacina de planta rectangu-, lar y fachada en arco de medio punto. Fig. 116. Divídase la plan- ta en las partes que se quisieren, por ejemplo, cinco; y procedase de un modo análogo á lo indicado en el problema anterior. Determinar la sombra de la parte inferior de una estria de plan- ta semicircular. Fig. 117. Trazada la planta y el alzado trácense en este las paralelas al rayo de luz A. B. C. D. E. y en aquella la línea a. b. con las equidistancias a. z. x. s.; y desde cada uno de estos cuatro puntos llévense perpendiculares al eje de la planta v. p. Desde los puntos en que estas perpendiculares crucen la pa- ralela al rayo de luz de la planta levántense perpendiculares, que - 53 — al cruzarse con las paralelas al rayo de luz del alzado, marcarán la línea de la sombra. Los problemas que han de resolverse por secciones ó cortes corresponden á los estudios de ampliación , y necesitan un cono- cimiento y una práctica de las proyecciones que no puede tener el alumno en la primera época de la instrucción artística. 12. Adumbración. Es la representación de los efectos producidos por la calidad y dirección de la luz: es la razón gráfica de ellos. Varias observaciones deben hacerse al efecto para semejante re- presentación. I. Una superficie plana iluminada por todos sus puntos á igual distancia de la vista del observador debe recibir en toda su exten- sión una tinta clara y uniforme; dejándose aristas claras en la parte de donde viene la luz, y oscuras en las opuestas. II. A mayor distancia los claros deben dejarse menos brillantes y los oscuros mas atenuados, yendo á fundirse en los puntos más lejanos en una tinta débil casi igual. III. Dos superficies paralelas iluminadas del mismo modo, laque estuviere muy cerca de la vista deberá recibir una tinta más débil, que la que estuviere á mayor distancia. IV. Guando una superficie iluminada estuviere inclinada res- pecto del plano de proyección, deberá recibir una tinta degradada porque no tendrá todos sus puntos á igual distancia de la vista. V. En la región del oscuro la luz reflejada produce efectos pa- recidos á los de la región de la luz, pero en sentido inverso; asi, las privaciones de reflejo vienen á ser una esbatimentacion de la luz reflejada. VIL Un reflejo es tanto más vivo cuanto mas paralela sea la su- perficie que le presenta, á la que le refleja la luz. VI. Todo esbatimento tiene mayor intensidad junto al cuerpo que le produce, degradándose á medida que se aparta de este cuerpo. Los dibujos pueden sombrearse por varios medios: con lápiz: con el Vivado: con rayado. Buen auxiliar del lápiz es el esfumino; no debiendo en manera alguna considerarse como indispensable. Para el lavado la tinta sepia, 6 mejor, la china se emplean con buen éxito. La práctica del tiralíneas en combinación con la de la regla y de la escuadra es indispensable. El sombreado con lápiz requiere una operación especial que en la — 54 — práctica se expresa con la frase saber gastar el lapa; para lo cual es menester, ya no imitar la manera, sino formarse uno mismo un estilo después de haber observado y examinado modelos de dis- tinto género. El lavado con tinta china es más fácil de lo que comunmente se cree. Desde luego no deben ir á buscarse por este medio los efec- tos relamidos que comunmente se producen con la penosa tarea „ de rebajar los tonos con infinidad de manos ó capas débiles. Tam- poco debe admitirse, por inconveniente, ese lavado por manos ó capas sin esfumar que la ignorancia del buen sistema ha inventa- do, presentando en vez de superficies curvas, un efecto poligonal ó mas bien, de un estriado, á causa de la ley de los contrastes simul- táneos en virtud de la cual se neutraliza por yuxtaposición el valor de las tintas, como el de los tonos (1). Debe irá buscarse la natural vibración de la luz en la abstracta consideración del claroscuro; la cual se alcanza por las cuatro operaciones siguientes : Mancha general A., mano ligera de tinta con la cual no se hace más que diferenciarla región iluminada, de la sombría—el modelado B., mano de tinta de alguna fuerza con la cual se dejan marcados los oscuros; quedando los reflejos, marcando las privaciones de estas y degradando al propio tiempo los esbatimentos — la entonación C , mano de tinta con que debe cubrirse por igual toda la masa sombría—medias tintas D. que se esfumarán y modelarán según conviniere. Los apretones y toques de efecto son resultado del modo de sentir de cada uno. El rayado, no debe tener aplicación sino en el caso de tener que presentar dibujos sobre lienzo preparado, puesto que en la superficie de este no cabe presentar el sombreado ni al lápiz ni lavado. Por otra parte es error pretender presentar con el rayado todos los efectos de la luz cual lo hace el grabador con el buril cuando quiere dar razón de una obra de arte; el rayado con el tiralíneas solo debe dar idea de las formas de los objetos por un sistema de trazos más ó menos vigorosos y robustos, espaciándo- (1) P a r a dejar demostrado lo que acaba de decirse, no hay mas que examinar cualquiera e s - pacio de loa dibujos lavados por este sistema, y se echará de ver, que cada mano de tinta, tiene mayor entonación del lado de la inmediata que la tiene menor, que del otro; y al contrario. Pues córtese en un papel un paralelógramo más ó menos prolongado, pero del ancho de tai espacio la- vado: ajústesele de modo que aparezca aislado por el blanco del papel, y desaparecerá por c o m - pleto la ilusión, viéndose que la mano de tinta extendida es igual en todas sus partes. Fi¿118. ^ '"^1^ ^^faw< ^ai^ÉÍ U.^TCaHeV. C««aTte%,2> BwceVwxa — 55 — los según el modo de sentir de cada dibujante, bastando que las medias tintas sean simplemente indicadas. El rayado á pulso tiene aplicación al dibujo topográfico, sobre el cual no haremos más que algunas indicaciones que pueden des- vanecer ciertas preocupaciones introducidas por la rutina. Aunque con las normales á las curvas de nivel haya querido darse razón del grado de las pendientes , no se ha alcanzado jamás satis- factoriamente. El sombreado lavado, cuando se trazare el plano sobre papel es de más fácil y pronta ejecución: y sobre este parti- cular no haremos más que remitirnos á la práctica, desgraciada- mente poco conocida para ser debidamente apreciada; debiendo ser mas extendido el uso del lavado, el cual puede proporcionar grande economía de tiempo y de trabaio. No será inconveniente advertir, que se evite el sombrear los pla- nos topográficos arbitrariamente ó con la misma inclinación de la luz que puede darse al paisaje: al cabo un plano topográfico no es mas que la proyección horizontal de éste, y como tal debe som- brearse. TRATADO VI HISTORIA 1. Historia es el recuerdo de los hechos ejecutados por el hom- bre, y el conocimiento de la trascendencia de estos hechos en la civilización. 2. Civilización es la tendencia del espíritu humano hacia la per- fección de la Sociedad y del Individuo. 3. La Sociedad es la reunión de los individuos de la especie humana para el bien común. 4. Son conocimientos ausiliares de la historia la Geografía y la Cronología, á fin de saber donde y cuando se han verificado los hechos. GEOGRAFÍA. 5. Es la descripción de la superficie del globo que habitamos. 6. Este globo se compone de tierra y de agua: la tierra cons- tituye los continentes y las islas, el agua constituye los mares. 7. La Tierra tiene cuatro puntos cardinales que son Norte ó Septentrión.—Sud ó Mediodía.—Este ú Oriente.—Oeste ú Occiden- te. El Norte y el Sud son los dos polos del eje de nuestro globo: el Este es el punto en donde vemos que nace el Sol: el Oeste es el punto donde le vemos ponerse. 8. El globo se divide en cinco zonas: una tórrida en el centro: — 57 — dos frías ó glaciales en los polos: las dos intermedias son las templadas. 9. La tierra se divide en cinco continentes que son: Asia, Áfri- ca, Europa, América y Occeanía. 10. Los mares se dividen en Occéano Ártico en el polo Norte: el Occéano antartico en el polo Sud: el Occéano atlántico entre Europa, África, y America: y el Grande Occéano entre America Asia y África. 11. La tierra está accidentada por montañas, de cuyas vertien- tes corren rios formando algunas veces lagos. 12. Los mares se introducen por espacios estrechos en los con- tinentes , formando otros mares más ó menos extensos. El mayor de estos mares internos es el llamado por excelencia Mediterrá- neo, el cual baña las costas de los tres continentes conocidos y frecuentados por la Antigüedad, que son el Asia occidental; el África septentrional; y la Europa meridional. CRONOLOGÍA. 13. Es la ciencia de las fechas, y la cuenta ó cómputo de los tiempos. 14. Se toma por base cierta de la Cronología el Nacimiento de Nuestro Señor Jesucristo, (Era Cristiana.) 15. Antes del Cristianismo contaron: los griegos, por olimpía- das, periodo cuadrienal de los juegos ólimpicos que principió en 766 ant J. C : Jos romanos, por la fundación de Roma, que fué 13 años más tarde (753). Después de J. C. los sectarios de Mahoma cuentan por la Egira que principió en 622 de J. C. 16. La certeza de los hechos se comprueba ó por la tradición ó por los monumentos. —Tradición es la noticia comunicada por relación succesiva de una á otra generación: Su origen puede ser sagrado ó profano. —Los monumentos son plásticos ó literarios. Son plásticos las obras de Arquitectura las de Escultura y las de Pintura, constitu- yendo la Arqueología Artística: son literarios los que tien;n por objeto la Simbologia (geroglíficos), la Paleografía (caracteres lite- rarios), Heráldica (blasón), constituyendo la Arquelogia diplomá- tica. — 58 — DIVISIONES DE LA HISTORIA. 17. La Historia se divide en Universal,, general y particular. Es Universal cuando se extiende á toda la sociedad: General cuando se limita á determinado pueblo: Particular cuando se limita á determinado hecho ó á determinado elemento social, por ejem- plo: á las Bellas Artes. 18. La civilización ha presentado dos grandes caracteres, cons- tituyendo la división de la Historia en Antigua y Moderna. En la Historia antigua se encuentra la civilización basada en creencias materialistas: en la moderna se la encuentra basada en creencias espiritualistas. La Historia Antigua se divide en dos Edades: la prehistórica y la histórico-propia: la prehistórica comprende, desde la Creación hasta Moisés (SIGLO XVII antes J. C): la histórico-propia, desde esta última época h sta el completo establecimiento del Cristianismo en la Sociedad, (siglo vi de J. C.) La Historia moderna también se divide en dos edades: Edad media y Edad moderno-propia. La Edad media se extiende desde el completo establecimiento del Cristianismo en la Sociedad hasta siglo vi de J. C.: y desde esta última época hasta nuestros dias corre la Edad moderno-propia. En la historia moderna se distinguen cuatro caracteres especia- les formando época, y son: el feudal y el caballeresco en la Edad media; y el cortesano y el democrático en la moderna propia. HISTORIA ANTIGUA. EDAD PREHISTÓRICA. 19. La primera sociedad ha sido la familia: su jefe, el padre. A esta sociedad siguió la tribu, esto es, la reunión de ramas de una misma familia : su jefe, el más anciano: Patriarca. La multiplica- ción de las tribus hubo de producir la dispersión de ellas (Torre de Babel, formación de distintos pueblos ó naciones. Gobiernos). 20. El, primer territorio donde hubo de multiplicarse el género humano es el que está situado en Asia siguiendo el curso de los rios Tigris y Eufrates. Allí hubieron de constituirse las primeras naciones ó pueblos. 21. Los pueblos de cuya constitución se tienen mas remotas — 59 — noticias son, el babilonio y el ninivita; los cuales, reunidos, for- maron el primer imperio de Asiria, con creencias supersticiosas sobre los astros, y con gobiernos despóticos. De este imperio se originaron los pueblos Medo y Persa. 22. A oriente de este imperio hubieron de constituirse el pue- blo indo y el chino; y en la otra parte del occéano, el mejicano y el peruano con una civilización especial, aislada y sin ninguna influencia en la que se ha desarrollado en Occidente. A occidente del imperio Asirio y en las costas del Mediterráneo constituyóse el pueblo fenicio, idolatra, industrioso y mercantil; y en el territorio africano inmediato se alzó el pueblo egipcio, seve- ro, rígido é inflexible en sus creencias, y en su política, pero in- teligente en las ciencias naturales y en las Artes de construcción. EDAD HISTÓRICO PROPIA. 23. Entre los dos pueblos citados, el fenicio y el egipcio, consti- tuyóse el pueblo hebreo bajo la dirección de Moisés, con creencias agenas á todo idolatría y con la esperanza de un Mesías: gobernóse primero por jueces ó ancianos, y más adelante por reyes: y divi- diéndose más tarde en samaritanos y judíos. 24. El pueblo que heredó mas directamente las civilizaciones egipcia y fenicia fué el helénico ó griego procedente de raza pelas- jica, sobre cuyos restos se levantó, ocupando los paises al sudeste de Europa. Sus creencias fueron hijas de la imaginación de los poetas, los cuales personificaron las ideas más abstractas: y fué su culto el de las bellas formas. La victoria que alcanzó sobre los persas á principios del siglo v, ant. í. C, le dio un período de gloria envidiable, habiendo sido Perícies el que estuvo al frente del gobierno de Atenas protegiendo las ciencias y las artes. Fué tal la influencia de la civilización griega, que conquistado el país por los macedonios en el siglo iv ant. J. C , el conquistador Alejandro Magno se hizo un deber de llevarla al Asia y á Egipto con sus ejércitos conquistadores. 25. El pueblo etrusco contemporáneo del griego y aun del mis- mo origen, tuvo análogas costumbres y creencias; pero hubo de sucumbir bastante más temprano que el griego á los esfuerzos del pueblo romano; el cual no adquirió la civilización griega hasta mediados del siglo n antes J. C. — 60 - 26. Roma en esta época habia tomado de Etruria y de Grecia las creencias y las leyes. Su gobierno republicano fué primero aristocrático, y tomó poco á poco el carácter democrático, acaban- do por ser monárquico después de haber dominado á los carta- gineses, pueblo mercantil, de origen fenicio, situado en las costas de África, y de haber vencido los pueblos bárbaros que encontró en Europa, el celta ó galo, el íbero y el bretón. El primer emperador fué Octavio Augusto, el cual dio la paz al mundo entonces conocido, reuniendo bajo el poder de Roma las comarcas que-se extienden desde las montañas de los Scotos en la isla de los bretones, y los rios Rhin y Danubio que atraviesan el centro de Europa, á la cordillera del Atlas que se extiende parale- la á las costas septentrionales de África; y desde el océano atlánti- co á los rios Tigris y Eufrates en el Asia meridional. 27. En el reinado de Augusto nació NTRO. SEÑOR JESUCRISTO en Judea.—Setenta años mas tarde fué destruida la nación judaica por los romanos, y dispersados los judíos por toda la Tierra. 2tf. Roma imperial tuvo que luchar con los pueblos germánicos que atravesando el Rhin y el Danubio, se extendieron por todo el territorio del imperio con los nombres de godos, francos, sajones, lombardos, suevos, vándalos, alanos, etc. etc. 29. A principios del siglo iv de J. C. el emperador Constantino dio la paz á los cristianos, los cuales hasta entonces habían tenido que sustraerse de las persecuciones, escondiéndose en las catacum- bas y en los desiertos. Adoptó el cristianismo al propio tiempo que dio una nueva constitución al imperio, y trasladó la silla imperial desde Roma á Bizancio, cuya ciudad se llamó desde entonces Cons- tantinopla. 30. El emperador Teodosio á fines del mismo siglo iv dividió el imperio entre sus dos hijos Arcadio y Honorio, quedando consti- tuidos el imperio de Oriente y el de Occidente, y siendo Constanti- nopla y Roma los respectivos centros. HISTORIA MODERNA. EDAD MEDIA. 31. El imperio de Occidente fué destruido: y los pueblos ger- — 61 - mánicos, especialmente los godos, los francos, los sajones y los lombardos, echaron sobre sus ruinas los cimientos de las naciones española, francesa, inglesa é italiana; quedando los demás consti- tuyendo la alemana. Mas al norte, los pueblos eslavos y los escan- dinavos constituyeron las naciones rusa, sueca y dinamarquesa. 32. El imperio bizantino ó de Oriente, después de haber sido centro de la civilización de Europa, habiendo tenido escuelas cien- tíficas y artísticas especiales, dado el último golpe á las creencias antiguas y publicado una sabia legislación, suscitó cuestiones religiosas, que al paso que le sustrajeron las simpatías de los de- más pueblos de Europa, produjeron el cisma que separa la iglesia bizantina ó griega, de la romana ó latina. 33. El auxilio dado por el jefe de los francos Carlomagno al papa contra las pretensiones de los lombardos produjo el restable- cimiento del imperio de Occidente en este principe: lo que se veri- ficó en el año 800 de J. C. Este imperio tuvo que luchar con los normandos. Fué después á unirse con la monarquía germánica, cuyo poder estuvo en continua lucha con el de los pontífices roma- nos; de donde se originaron los partidos Guelfo y Gibelino que tuvieron desunida la Italia durante toda la Edad Media. ÉPOCA FEUDAL. 34. La influencia de las costumbres que habian traido los ger- manos, habia iniciado el Sistema feudal, que fué sancionado por un sucesor de Carlomagno. Este sistema social dio motivo á sangrien- tas luchas entre los señores, cuyo furor guerrero solo pudo tem- plar la autoridad del Papa, circunstancia que en aquella edad dio grande importancia al poder pontificio. 35. Entretanto los extensos dominios que tenia en Asia el im- perio de Oriente se hallaban invadidos por los árabes sectarios de Mahoma (sig. vn de J. C.) Estos nuevos creyentes (musulmanes) habian extendido sus conquistas hacia el centro del Asia, hacia la misma Constantinopla, y por el norte de África. Atravesaron el estrecho de Gibraltar y se apoderaron de la península ibérica (Es- paña), donde destruyeron el reino de los godos y fundaron el cali- fato de Córdoba. Fanáticos al principio, cuanto ilustrados poco después, aventaja- ron en ciencias y en artes á todos los pueblos de Europa; habiendo - 62 — fundado escuelas tanto en Asia como en España, á las cuales acu- dieron hombres de todos los paises y de todas las creencias. ÉPOCA CABALLERESCA. En el siglo xi las Cruzadas llevaron al Asia, ocupada por los ma- hometanos, á la mayor parte de señores y monarcas de Europa, para conquistar en nombre de la cristiandad , el país donde se habia verificado la historia de Ntro. Sr. Jesucristo. Los españoles fueron los que tomaron menos parte en estas espediciones por estar harto ocupados en librar á su país del poder de los árabes maho- metanos. Estas espediciones que duraron por espacio de dos siglos produ- jeron un cambio en el espíritu humano, dando á luz ideas caballe- rescas, é inaugurando una época de adelantos, y un movimiento científico, artístico, industrial y mercantil extraordinario. 37. Entretanto los monarcas unieron sus esfuerzos con los hom- bres de la clase media establecidos en las grandes poblaciones, para derrocar el poder de los señores, naciendo de este enlace, fuertes y vigorosas las municipalidades. 38. Al mismo tiempo las discordias civiles ensangrentaron la Italia, llegando á arrojar de Roma la sede pontificia, la cual' fué á establecerse en Avignon (Francia); suceso que produjo más tarde un cisma que duró mas de medio siglo; no terminando hasta princi- pios del xv. 39. La debilidad del imperio de Constantinopla dio állos turcos mahometanos que habían sucedido á los árabes, bastante fuerza para acometer aquel estado. Apoderáronse de la capital en 1453: mientras que la debilidad de los últimos restos de los árabes ma- hometanos establecidos desde ocho siglos atrás en España, dio la victoria á los reyes católicos; quedando este país libre de la domi- nación musulmana en 1492. EDAD MODERNA. ÉPOCA CORTESANA. 40. Mil innovaciones, mil ideas y mil ensayos hechos en la épo- — 63 — ca anterior dieron en el siglo xvi un resultado digno de conside- ración y de estudio por la trascendencia que tuvo. Los usos, las costumbres, las ocupaciones y los principios sufrieron gran trans- formación: la brújula, la pólvora y la imprenta dieron, atrevimien- to á los navegantes, nuevos sistemas á la estrategia y táctica militar, y una ilustración sin límites á todas las clases sociales. La constitución definitiva de las naciones interior y exteriormente dio origen á multitud de guerras que llevaron la monarquía hasta el despotismo, mientras el poder de los señores se convirtió en mera cortesanía, la Religión cristiana cayó en el Protestantismo, y el mundo'científico y artístico llegó hasta la pretensión de un Rena- cimiento presuntuoso que condenó cuanto en la época inmediata anterior se habia hecho. Los descubrimientos de América, del derrotero de las Indias forientales, y de muchas otras tierras allende los mares, completaron la obra. Los Médicis y el papa León X y su antecesor Julio II iniciaron esta época, en la cual des- collaron las figuras del emperador de Alemania Carlos V que fué el 1.° de España, Francisco I de Francia, y Enrique VIII de Inglaterra. 41. Las cuestiones religiosas ensangrentaron inmediatamente después la mitad de Europa, destacándose en este lastimoso perío- do las personas de Felipe II de España, de Enrique IV de Fran- cia y de Isabel de Inglaterra. 42. La cortesanía, levantó de punto el despotismo en el siglo xvn: y sin embargo la protección que muchos monarcas dieron al saber y á las artes se vio resplandecer especialmente en el rei- nado de Luis XIV de Francia. 43. El siglo XVIII fué un período de guerras desastrosas en el norte, y casi de calma en el mediodía de Europa: pero esta calma dejó entrever en el horizonte político-social presagios de una tem- pestad que habia estallado en Inglaterra en el siglo anterior, y que descargó toda su furia en Francia á fines del citado siglo xvm, con mucha mayor trascendencia en el espíritu humano, puesto que transformó las ideas, los principios, los usos, las costumbres. ÉPOCA DEMOCRÁTICA. 44. La revolución francesa de 1793 dio lugar á un nuevo orden de cosas, imprimiendo á nuestro siglo xix un carácter democráti- — 64 — co, que por más que se quiera, no debe estar en oposición ni con los elementos constitutivos de la sociedad, ni con los adelantos que las ciencias y las artes han conquistado, ni con las considera- ciones que los hombres en la vida social mutuamente nos debemos; todo sobre la base del objeto del Arte, la Belleza, único medio de dar á cuanto nos rodea el atractivo necesario; que al cabo la belle- za no es más que el esplendor de lo verdadero y de lo bueno. CONCLUSIÓN Guando el alumno conozca todos estos rudimentos y haya adqui- rido la suficiente práctica en el dibujo general; cuando sepa ver en el modelo de relieve, lo mismo que en el de estampa, y sepa ejecutar proporcionando y trazando con exactitud los contornos de los objetos y sombrear de un modo ú otro las formas de estos; en- tonces, y solo entonces, estará bien dispuesto para entrar en los estudios especiales de Pintura, de Escultura, de Arquitectura superior, y de la inferior ó Arte suntuario. Pero si leyes y reglamentos se han dictado con el objeto de regularizar los estudios necesarios para la profesión de arquitecto de edificios; bien poco se ha hecho con igual precisión para regu- larizar los del pintor, del escultor y del artista suntuario. Lo cual no quiere decir que hagan falta leyes ni reglamentos con tal objeto, como precepto; pero sí la hacen como norma del escolar, así como de sus padres ó tutores 'para no desperdiciar el tiempo en mal di- rigidos estudios. Gomo consejo puede tomar el que quisiere cultivar la Pintura y la Escultura, la indicación que desde luego puede hacerse, de que para entrar en el estudio del Natural es muy necesario tener el debido conocimiento de la Anatomía artística y de la Perspectiva; asi como para el estudio de la Estatuaria, y de la composición tan- to en Escultura como en Pintura, es indispensable el conocimiento de la Teoría estética y el de la Historia de las Bellas Artes. Por último el que quisiere cultivar alguna de las artes suntuarias, bien hará en adquirir conocimientos en esa teoría y en esa historia, y sobre todo no hará menos bien en asistir al propio tiempo á un taller de la producción suntuaria á que quisiere dedicarse; pues el artista suntuario, de semejante manera educado, es quien po- drá realizar una de las aspiraciones mas encarecidas de la pro- ducción : LA VERDADERA APLICACIÓN DEL ARTE Á LA IN- DUSTRIA. IïsTDIOE. PRÓLOGO.. PRELIMINAR. . Del dibujo en general. . TRATADO I. . Geometría 8 TRATADO I I . . Dibujo lineal ó geométrico. 17 TRATADO III. Formas y proporciones. . TRATADO IV Proyecciones 35 TRA Perspectiva id lineal aérea: El lápiz-, el lai, rayado. TRATADO VI. Historia. .' ;»i¡ UON. i¡r, ERRATAS En la pág. 58—linea 20—donde dice: siglo VI—debe decir: siglo XVI. En la púg. 63—linea 10—donde dice: cayó en—debe decir: tuco. (\.Ui^