| Título variante: |
Arithmetic |
| Título variante: |
Aritmética |
| Fecha: |
2023-24 |
| Resumen: |
L'assignatura té com a objectiu ser una introducció als problemes aritmètics i, a la vegada, oferir una visió dels mètodes que intervenen en l'anàlisi i resolució d'aquests problemes. Donat que hi ha massa tipus de problemes en teoria de nombres com per a ser coberts en un curs d'aquestes característiques, el curs es basa principalment en els problemes diofàntics, i s'introdueix a partir d'aquests la teoria algebraica de nombres i la geometria aritmètica. El curs es divideix en quatre parts: (I) Nocions bàsiques. Còniques i nombres $- adics; (II) Corves el·líptiques (III) Teoria de Nombres Algebraica; (IV) Una introducció a la gemetria aritmètica. El nexe d'unió de les quatre parts, és la diferent resolució d'equacions diofantines que son varietats topològiques amb el seu gènere. En la primera part estudiarem còniques, i veurem l'ànalisi $- adic, corresponent a valors absoluts als racionals on està acotat els valor absolut en els enters. La segona part ladedicarem a les corbes el·líptiques, treballant l'estructura de grup dels seus punts en aritmètica. 1 En la tercera part introduirem anells dins cossos, tal que es pot fer un estudi dels seus ideals primers (o valors absoluts) via una extensió finita de Galois. La quarta part està dedicada a l'estudi de cossos de trascendència 1 sobre un cos i la seva interrelació amb l'estudi de corbes, corresponent a anells dins cossos estudiat en el capítol anterior. |
| Resumen: |
The goal of this course is to introduce the student to arithmetic while, at the same time, offering a view of the methods that play a role in their analysis and resolution. Since there is a vast range of areas that fit inside number theory, this course will be based mainly on diophantine problems, from which algebraic number theory and arithmetic geometry will be introduced. The course will be divided in four parts: (I) Infinity number of analysis over the rationals! (II) Elliptic Curves (III) Hasse principle. (IV) Arithmetic Geometry. The common theme among these, which can serve as motivation - although this is not the focus of the course -, is the applications they have found in cryptography. Contrary to what could be thought, number theory is one of the branches of mathematics that most closely resembles experimental sciences: its main object of study is something as concrete as numbers, which we know and use in our daily lives. This is why experimentation is a fundamental trait of number theory, and this is reflected in the course by using computer tools (mainly Sage) that allow us to discover, understand and solve many arithmetic phenomena. 1. |
| Resumen: |
(de Google Translate) La asignatura tiene como objetivo ser una introducción a los problemas aritméticos y, a la vez, ofrecer una visión de los métodos que intervienen en el análisis y resolución de estos problemas. Dado que hay demasiados tipos de problemas en teoría de números como para ser cubiertos en un curso de estas características, el curso se basa principalmente en los problemas diofántico, y se introduce a partir de estos la teoría algebraica de números y la geometría aritmética. El curso se divide en cuatro partes: (I) Congruencias y divisibilidad; (II) Curvas elípticas; (III) Ley de reciprocidad cuadrática; y (IV) primalidad y factorización. El nexo de unión de las cuatro partes, y que puede servir de motivación aunque no sea el objetivo del curso, es la aplicación que de ellos se ha hecho a la criptografía. En la primera parte estudiaremos resultados básicos de congruencias, y veremos las primeras aplicaciones a la criptografía. 1 La segunda parte ladedicarem a las curvas elípticas, enfatizando las aplicaciones que se ha hecho a la factorización y la criptografía. En la tercera parte introduciremos la ley de reciprocidad cuadrática y sus consecuencias. La cuarta parte está dedicada al estudio de algoritmos para determinar la primalidad de enteros, y para encontrar factores no triviales de enteros compuestos. Contrariamente a lo que algunos podrían creer, la teoría de números es una de las ramas de las matemáticas que más se parece a las ciencias experimentales: su principal objeto de estudio es algo tan concreto como los números, que conocemos y usamos a diario. Es por ello que la experimentación es un rasgo básico de la teoría de números, y esto se refleja en el curso mediante el uso de herramientas informáticas (principalmente Sage) que permiten descubrir, entender y resolver muchos fenómenos aritméticos. |
| Derechos: |
Aquest document està subjecte a una llicència d'ús Creative Commons. Es permet la reproducció total o parcial, la distribució, la comunicació pública de l'obra i la creació d'obres derivades, fins i tot amb finalitats comercials, sempre i quan es reconegui l'autoria de l'obra original.  |
| Lengua: |
Català, anglès, castellà |
| Titulación: |
Matemàtiques [2500149] |
| Plan de estudios: |
Grau en Física i Grau en Matemàtiques [1286] ; Grau en Matemàtiques [777] |
| Documento: |
Objecte d'aprenentatge |
visitante ::
identificación
