| Títol variant: |
Topology of manifolds |
| Títol variant: |
Topología de variedades |
| Data: |
2021-22 |
| Resum: |
Ever since the concept of homeomorphism was clearly defined, the "ultimate" problem in topology has been to classify topological spaces ''up to homeomorphism". That this was a hopeless undertaking was very soon apparent, the subspaces of the plane R2 being an obvious example. From this impossibility were born algebraic and differential topology, by a shift of emphasis which consisted in associating "invariant" objects to some types of spaces (objects are the same for two homeomorphic spaces). At first these objects were integers, but it was soon realized that much more information could be extracted from invariant algebraic structures such as groups and rings. (Jean Dieudonné, A history of algebraic and differential topology 1900--1960) L'objectiu d'aquest curs és doble. D'una banda, introduirem una de les classes d'espais topològics més importants, i més estudiades: les varietats diferenciables. Aquests espais, molt comuns tant en matemàtiques com en física, per exemple, tenen l'agradable característica de ser els espais en els quals es poden estendre sense massa dificultats els conceptes prèviament vistos a les assignatures de Càlcul en Diverses Variables i de Geometria Diferencial. Per altra banda, farem una introducció als mètodes cohomològics en topologia. La cohomologia de de Rahm és un exemple d'un procés summament útil per entendre la "forma" de les varietats: consisteix a transformar (part de) la informació geomètrica que suporta una varietat en objectes algebraics, en aquest cas una successió d'espais vectorials. Això permet a priori la següent estratègia per resoldre un problema sobre una varietat: traduir-lo en un problema algebraic, calcular la solució en àlgebra i reinterpretar de manera geomètrica el resultat. En particular aquests espais vectorials codifiquen de manera molt assequible diverses propietats de la varietat: la dimensió, l'orientabilitat, propietats d'orientabilitat superiors (estructures spin, etc. ). 1 propietats de la varietat: la dimensió, l'orientabilitat, propietats d'orientabilitat superiors (estructures spin, etc. ). A més d'introduir aquests grups de cohomologia presentarem algunes de les eines utilitzades per extreure la informació rellevant d'aquests espais. Això serà doncs un primer cop d'ull a una teoria que ve desenvolupant-se des de finals de segle XIX i que continua activa. Entre els seus grans èxits es troben: la classificació de les superfícies, la demostració de la conjectura de Poincaré en dimensions més grans que 5, el problema del "invariant de Kervaire 1" i més recentment el desenvolupament de tècniques topològiques per a l'anàlisi de dades. |
| Resum: |
Ever since the concept of homeomorphism was clearly defined, the "ultimate" problem in topology has been to classify topological spaces ''up to homeomorphism". That this was a hopeless undertaking was very soon apparent, the subspaces of the plane R2 being an obvious example. From this impossibility were born algebraic and differential topology, by a shift of emphasis which consisted in associating "invariant" objects to some types of spaces (objects are the same for two homeomorphic spaces). At first these objects were integers, but it was soon realized that much more information could be extracted from invariant algebraic structures such as groups and rings. (Jean Dieudonné, A history of algebraic and differential topology 1900--1960) The objective of this course is twofold. On the one hand, we will introduce one of the most important and most studied classes of topological spaces: differentiable manifolds. These spaces, very common in both mathematics and physics, have the remarkable feature of admitting generalizations of concepts previously studied in Multivariable Calculus and Differential Geometry. On the other hand, we will introduce the cohomological methods in topology. De Rahm's cohomology is an extremely useful technique to understand the "shape" of manifolds: it consists of transforming (part of) the geometric information that supports a manifold into algebraic objects, in this case, a sequence of vector spaces. This makes it possible to try the following strategywhen solving a problem on a manifold: translate it into an algebraic problem, calculate the solution at the algebraic level and geometrically reinterpret the result. In particular, these vector spaces nicely encode several properties of the manifold: its dimension, its 1 In particular, these vector spaces nicely encode several properties of the manifold: its dimension, its orientation, superior orientation properties (spin structures, etc. ). In addition to introducing these cohomology groups, we will present some of the tools used to extract the relevant information from these spaces. This course is a first look at a theory that has been developing since the end of the 19th century and that continues to be active. Among his great achievements are: the classification of surfaces, the demonstration of the Poincaré conjecture in dimensions greater than 5, the "Kervaire invariant 1" problem and more recently the development of topological techniques for data analysis. |
| Resum: |
Ever since the concept of homeomorphism was clearly defined, the "ultimate" problem in topology has been to classify topological spaces ''up to homeomorphism". That this was a hopeless undertaking was very soon apparent, the subspaces of the plane R2 being an obvious example. From this impossibility were born algebraic and differential topology, by a shift of emphasis which consisted in associating "invariant" objects to some types of spaces (objects are the same for two homeomorphic spaces). At first these objects were integers, but it was soon realized that much more information could be extracted from invariant algebraic structures such as groups and rings. (Jean Dieudonné, A history of algebraic and differential topology 1900--1960) El objetivo de este curso es doble. Por una parte, introduciremos una de las clases de espacios topológicos más importantes, y más estudiadas: las variedades diferenciables. Estos espacios, muy comunes tanto en matemáticas como en física, por ejemplo, tienen la agradable característica de ser los espacios en los cuales se pueden extender sin demasiadas dificultades los conceptos previamente vistos en las asignaturas de Cálculo en Diversas Variables y de Geometría Diferencial. Por otra parte haremos una introducción a los métodos cohomológicos en topología. La cohomología de de Rahmes un ejemplo de un proceso sumamente útil para entender la "forma" de las variedades: consiste en transformar (parte de) la información geométrica que soporta una variedad en objetos algebraicos, aquí una sucesión de espacios vectoriales. Esto permite a priori la siguiente estrategia para resolver un problema sobre una variedad: traducirlo en un problema algebraico, calcular la solución en álgebra y reinterpretar de manera geométrica el resultado. En particular estos espacios vectoriales codifican de manera muy asequible varias 1 propiedades de la variedad: su dimensión, su orientabilidad, propiedades de orientabilidad superiores (estructuras spin, etc. ). Además de introducir estos grupos de cohomología presentaremos algunas de las herramientas utilizadas para extraer la información relevante de estos espacios. Esto será pues un primer vistazo a una teoría que va desarrollándose desde finales del siglo XIX y que continúa activa. Entre sus grandes logros se encuentran: la clasificación de las superficies, la demostración de la conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que 5, el problema del "invariante de Kervaire 1" y más recientemente el desarrollo de técnicas topológicas para el análisis de datos. |
| Drets: |
Aquest document està subjecte a una llicència d'ús Creative Commons. Es permet la reproducció total o parcial, la distribució, la comunicació pública de l'obra i la creació d'obres derivades, fins i tot amb finalitats comercials, sempre i quan es reconegui l'autoria de l'obra original.  |
| Llengua: |
Català, anglès, castellà |
| Titulació: |
Matemàtiques [2500149] |
| Pla d'estudis: |
Grau en Física i Grau en Matemàtiques [1286] ; Grau en Matemàtiques [777] |
| Document: |
Objecte d'aprenentatge |
visitant ::
identificació
