| Título variante: |
Dynamic Systems |
| Título variante: |
Sistemas dinámicos |
| Fecha: |
2022-23 |
| Resumen: |
Aquest curs és una iniciació a la teoria moderna de sistemes dinàmics. Un primer objectiu és que l'alumne es familiaritzi amb la noció abstracte de sistema dinàmic i els conceptes bàsics d'aquesta teoria: estabilitat, atractor, conjunts invariants, omega límits, etc. El segon objectiu és entendre com és el comportament local, tant dels sistemes dinàmics discrets com els continus, en l'entorn d'un punt d'equilibri o d'una òrbita periòdica. Aquest comportament local es basa en la classificació topològica dels sistemes lineals a R n, tant els que venen determinats pel flux d'equacions diferencials ordinàries (sistemes dinàmics continus) com els que provenen de la iteració de funcions (sistemes dinàmics discrets). Els sistemes lineals són molt importants. D'una banda perquè apareixen en l'estudi de molts fenòmens físics d'interès i d'altra banda perquè són la primera aproximació de sistemes més complicats. La Teoria qualitativa de les equacions diferencials es va iniciar amb els treballs de Poincaré cap a l'any 1880 en relació amb els seus treballs de Mecànica Celest i tracta de conèixer propietats de les solucions sense necessitat de resoldre les equacions, entre altres coses perquè la resolució no és factible. Aquest enfoc qualitatiu, quan es combina amb mètodes numèrics adequats, és, en alguns casos, equivalent a tenir les solucions de l'equació. S'avançarà en el coneixement i estudi, introduïts en assignatures anteriors al pla, de la teoria qualitativa d'equacions diferencials a espais de dimensió superior. Fent èmfasi en l'estructura local dels punts d'equilibri (degenerats i no degenerats) i l'estabilitat de les òrbites periòdiques. L'últim objectiu és el d'introduir les tècniques per entendre la dinàmica global discreta. L'exemple principal serà el d'una família paramètrica de sistemes dinàmics discrets: les aplicacions unimodals, i que (per alguns valors dels paràmetre) presenten una dinàmica que porta de manera senzilla a la noció de sistema caòtic. Per aquests sistemes l'aproximació numèrica no és factible i per entendre la seva dinàmica calen noves eines. Els sistemes caòtics es presenten sovint a les aplicacions (problemes de predicció meteorològica, circuits elèctrics, etc). |
| Resumen: |
This course is an introduction to the modern theory of dynamic systems. The first objective is to familiarize the student with the notion of a dynamical system and the basic concepts of this theory: stability, attractor, invariant sets, alpha and omega limits, etc. The second objective is to understand how is the local behavior, in discrete and continuous dynamical systems, near an equilibrium point or a periodic orbit. This local behavior is based on the topological classification of linear systems in R^n, both those that are determined by the flow of ordinary differential equations (continuous dynamical systems) and those that come from the iteration of functions (discrete dynamical systems). Linear systems are very important because they are the first approach to more complicated systems. The Qualitative Theory of Differential Equations began with the work of Poincaré around 1880 in relation to his work on Celestial Mechanics and seeks to know properties of solutions without having to solve equations, among other things because the resolution is not feasible. This qualitative approach, when combined with appropriate numerical methods, is, in some cases, equivalent to having the solutions of the equation. Progress will be made in the knowledge and study, introduced previously on the plane, of the qualitative theory of differential equations in spaces of higher dimension. Emphasizing the local structure of equilibrium points (degenerate and non-degenerate) and the stability of their periodic orbits. Finally, we introduce the techniques to study discrete global dynamics. The main example will be the unimodal maps. They (for some parameter values) present a dynamic that simply leads to the notion of a chaotic system. For these systems, the numerical approach is not feasible, and to understand its dynamics new tools are needed. Chaotic systems are often presented in applications (problems of weather forecasting, electrical circuits, etc. ). |
| Resumen: |
Este curso es una iniciación a la teoría moderna de sistemas dinámicos. Un primer objetivo es que el alumno se familiarice con la noción de sistema dinámico y los conceptos básicos de esta teoría: estabilidad, atractor, conjunto invariante, alpha y omega límite, etc. El segundo objetivo es entender cómo es el comportamiento local, tanto de los sistemas dinámicos discretos como los continuos, en el entorno de un punto de equilibrio o de una órbita periódica. Este comportamiento local se basa en la clasificación topológica de los sistemas lineales en R^n, tanto los que vienen determinados por el flujo de ecuaciones diferenciales ordinarias (sistemas dinámicos continuos) como los que provienen de la iteración de funciones (sistemas dinámicos discretos). Los sistemas lineales son muy importantes porque son la primera aproximación de sistemas más complicados. La Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales se inició con los trabajos de Poincaré hacia 1880 en relación con sus trabajos de Mecánica Celeste y trata de conocer propiedades de las soluciones sin necesidad de resolver las ecuaciones, entre otras cosas porque la resolución no es factible. Este enfoque cualitativo, cuando se combina con métodos numéricos adecuados, es, en algunos casos, equivalente a tener las soluciones de la ecuación. Se avanzará en el conocimiento y estudio, introducidos en asignaturas anteriores para el plano, de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales en espacios de dimensión superior. Haciendo énfasis en la estructura local de los puntos de equilibrio (degenerados y no degenerados) y la estabilidad de las órbitas periódicas. El último objetivo es el de introducir las técnicas para entender la dinámica global discreta. El ejemplo principal será el de una familia paramétrica de sistemas dinámicos discretos: las aplicaciones unimodales, y que (por algunos valores de los parámetro) presentan una dinámica que lleva de manera sencilla a la noción de sistema caótico. Para estos sistemas la aproximación numérica no es factible y para entender su dinámica se necesitan nuevas herramientas. Los sistemas caóticos se presentan a menudo en las aplicaciones (problemas de predicción meteorológica, circuitos eléctricos, etc). 1. |
| Derechos: |
Aquest document està subjecte a una llicència d'ús Creative Commons. Es permet la reproducció total o parcial, la distribució, la comunicació pública de l'obra i la creació d'obres derivades, fins i tot amb finalitats comercials, sempre i quan es reconegui l'autoria de l'obra original.  |
| Lengua: |
Català, anglès, castellà |
| Titulación: |
Matemàtiques [2500149] |
| Plan de estudios: |
Grau en Física i Grau en Matemàtiques [1286] ; Grau en Matemàtiques [777] |
| Documento: |
Objecte d'aprenentatge |
visitante ::
identificación
