| Data: |
2023 |
| Resum: |
Aquesta tesi doctoral es centra en la descripció dels límits superiors d'un functor mitjançant l'ús d'eines homotòpiques, en lloc de l'ús dels mètodes clàssics de l'Àlgebra Homològica. Aquest treball es centra en functors sobre una categoria filtrada en la qual tot endomorfisme és un isomorfisme (categoria EI) i que prenen valors en mòduls. En primer lloc, es presenten dues estructures de categories de models en aquesta categoria de functors: una adequada per a functors contravariants i una altra per als functors covariants. En aquest context, els límits i col·límits superiors es descriuen mitjançant reemplaçaments fibrants i cofibrants, respectivament. A partir de les propietats combinatòries d'aquestes categories EI, es proporciona una construcció explícita de sengles reemplaçaments. A més, es presenten variacions d'aquestes construccions que permeten adequar-ho al problema d'estudi: descriure cotes i rangs d'anul·lació dels límits superiors. En el cas de categories parcialment ordenades (posets), es demostra que la propietat de ser pseudo-projectiu és equivalent a la propietat de ser cofibrant a la categoria de functors covariants descrita en aquest treball. També s'introdueix una noció de functor de Mackey per a posets inspirada en la clàssica noció de functor de Mackey per a categories d'òrbites. En aquest cas, es prova que els functors de Mackey amb una noció afegida de quasi-unitat són cofibrants i, per tant, els seus col·límits superiors s'anul·len en graus positius. A partir de l'estructura combinatòria del reemplaçament i les eines de càlcul proposades, es calculen cotes explícites a partir de les quals els límits superiors d'un functor s'anul·len. Utilitzant diferents estratègies, aquestes es descriuen a partir de la geometria del poset, de cotes locals dels límits superiors i de filtracions a partir de functors atòmics. Finalment, s'estudia en detall el cas dels límits superiors de functors indexats en posets CL-shellable. Aquests posets tenen el tipus d'homotopia d'una unió puntual d'esferes de la mateixa dimensió, de manera que els límits superiors en graus estrictament positius d'un functor constant estan concentrats en un sol grau. Motivats per aquest cas particular, s'abstrau una propietat suficient per a un functor que garanteix que els seus límits superiors s'anul·len per a dimensions inferiors a la longitud del poset. Com a exemple d'aplicació, es descriu el cas de la família de functors de n-formes lineals en feixos d'hiperplans vectorials. |
| Resum: |
Esta tesis doctoral se enfoca en la descripción de los límites superiores de un funtor mediante el uso de herramientas homotópicas, en lugar del uso de los métodos clásicos del Álgebra Homológica. Este trabajo se centra en funtores sobre una categoría filtrada en la que todo endomorfismo es un isomorfismo (categoría EI) y que toman valores en módulos. En primer lugar, se presentan dos estructuras de categorías de modelos en dicha categoría de funtores: una adecuada a funtores contravariantes y otra para los funtores covariantes. En este contexto, los límites y colímites superiores se describen mediante reemplazos fibrantes y cofibrantes, respectivamente. A partir de las propiedades combinatorias de estas categorías EI, se proporciona una construcción explícita de sendos reemplazos. Además, se presentan variaciones de dichos reemplazos que permiten adecuarlo al problema de estudio: describir cotas y rangos de anulación de los límites superiores. En el caso de categorías parcialmente ordenadas (poset en adelante), se demuestra que la propiedad de ser pseudo-proyectivo es equivalente a la propiedad de ser cofibrante en la categoría de funtores covariantes descrita en este trabajo. También se introduce una noción de funtor de Mackey para posets inspirada en la clásica noción de funtor de Mackey para categorías de órbitas. En este caso, se prueba que los funtores de Mackey con una noción añadida de casi-unidad son cofibrantes y, por lo tanto, sus colímites superiores se anulan en grados positivos. A partir de la estructura combinatoria del reemplazo y las herramientas de cálculo propuestas, se calculan cotas explícitas a partir de las cuales los límites superiores de un funtor se anulan. Utilizando diferentes estrategias, éstas se describen a partir de la geometría del poset, de cotas locales de los límites superiores y de filtraciones a partir de funtores atómicos. Por último, se estudia en detalle el caso de los límites superiores de funtores indexados en posets CL-shellable. Estos posets tienen el tipo de homotopía de una unión puntual de esferas de la misma dimensión, por lo que los límites superiores en grados estrictamente positivos de un funtor constante están concentrados en un sólo grado. Motivados por este caso particular, se abstrae una propiedad suficiente para un funtor que garantiza que sus límites superiores se anulan para dimensiones inferiores a la longitud del poset. Como ejemplo de aplicación se describe el caso de la familia de funtores de n-formas lineales en haces de hiperplanos vectoriales. This PhD thesis focuses on describing the higher limits of a functor using homotopical tools rather than the classical methods of Homological Algebra. This work focuses on functors over a filtered category in which every endomorphism is an isomorphism (EI-category) and takes values in modules. Firstly, two model category structures are presented in this category of functor: one suitable for contravariant functors and another for covariant functors. In this context, higher limits and colimits are described through fibrant and cofibrant replacements, respectively. Then, based on the combinatorial properties of these EI-categories, an explicit construction of both replacements is provided. In addition, variations of these replacements are presented to adapt them to the problem of study: describing vanishing bounds and ranks for the higher limits. |
| Resum: |
In the case of partially ordered categories (posets for short), it is shown that pseudo-projective property is equivalent to cofibrant in the covariant functors category described in this work. A notion of Mackey functor for posets is also introduced, inspired by the classical notion of Mackey functor for orbit categories. In this case, it is proven that Mackey functors with an additional notion of quasi-unit are cofibrant; therefore, their higher colimits vanish in positive degrees. Using the combinatorial structure of the replacement and the presented computation tools, explicit vanishing bounds for the higher limits are proven. Using different strategies, these are described based on the geometry of the poset, local bounds of higher limits, and filtrations from atomic functors. Finally, the case of higher limits of functors indexed on CL-shellable posets is studied in detail. These posets have the homotopy type of a wedge sum of spheres of the same dimension, so the higher limits in strictly positive degrees of a constant functor are concentrated in a single degree. Motivated by this particular case, a sufficient property for a functor is abstracted, which guarantees that its higher limits vanish for dimensions lower than the length of the poset. As an example of application, the case of the family of n-linear forms functors in hyperplane arrangements is described. |
| Nota: |
Universitat Autònoma de Barcelona. Programa de Doctorat en Matemàtiques |
| Drets: |
L'accés als continguts d'aquesta tesi queda condicionat a l'acceptació de les condicions d'ús establertes per la següent llicència Creative Commons:  |
| Llengua: |
Anglès |
| Col·lecció: |
Programa de Doctorat en Matemàtiques |
| Document: |
Tesi doctoral ; Text ; Versió publicada |
| Matèria: |
Límit superior ;
Límite superior ;
Higher limits ;
Categoria de model ;
Categoría de modelo ;
Model category ;
Poset ;
Ciències Experimentals |
visitant ::
identificació
