| Títol variant: |
Topology of manifolds |
| Títol variant: |
Topología de variedades |
| Data: |
2019-20 |
| Resum: |
Ever since the concept of homeomorphism was clearly defined, the "ultimate" problem in topology has been to classify topological spaces ''up to homeomorphism". That this was a hopeless undertaking was very soon apparent, the subspaces of the plane R2 being an obvious example. From this impossibility were born algebraic and differential topology, by a shift of emphasis which consisted in associating "invariant" objects to some types of spaces (objects are the same for two homeomorphic spaces). At first these objects were integers, but it was soon realized that much more information could be extracted from invariant algebraic structures such as groups and rings. (Jean Dieudonné, A history of algebraic and differential topology 1900--1960) Aquesta és una bona descripció de la filosofia d'aquesta disciplina. En aquest curs introduïm els invariants algebraics més bàsics que podem associar a un espai topològic (en particular a una varietat) i que ens proporcionen una primera aproximació a les propietats globals d'aquests objectes. Amb especial èmfasi al grup fonamental, als grups de homologia i les àlgebres de cohomologia. Amb això obrim les portes a una teoria que s'ha desenvolupat durant el segle XX i que continua donant resultats apassionants com ara la solució de la conjectura de Poincaré (Perelman, 2003, http://ca. wikipedia. org/wiki/Conjectura_de_Poincaré), la solució de la (una de les) conjectura de Munford per Madsen i Weiss (2007 http://en. wikipedia. org/wiki/Mapping_class_group) o la solució del problema de l'invariant de Kervaire 1 en dimensions diferents de 126 (Hill-Hopkins-Ravenel, 2009, http://en. wikipedia. org/wiki/Kervaire_invariant). |
| Resum: |
Ever since the concept of homeomorphism was clearly defined, the "ultimate" problem in topology has been to classify topological spaces ''up to homeomorphism". That this was a hopeless undertaking was very soon apparent, the subspaces of the plane R2 being an obvious example. From this impossibility were born algebraic and differential topology, by a shift of emphasis which consisted in associating "invariant" objects to some types of spaces (objects are the same for two homeomorphic spaces). At first these objects were integers, but it was soon realized that much more information could be extracted from invariant algebraic structures such as groups and rings. (Jean Dieudonné, A history of algebraic and differential topology 1900--1960) El objetivo de este curso es intrudcior algunos de las herramientas algebráicas más relevantes para el estudio y la clasificación de las variedades: la cohomología de de Rahm y el grupo fundamental. la cohomología de de Rahm, generalización natural del cálculo diferencial en Rn, asocia a cada variedad una sucesión de espacios vectoriales de dimensión finita en la que se encuentran codificadas varias propiedades de la variedad: su dimensión, su orientabilidad, propiedades de orientabilidad superiores (estructuras spin, etc. ). Además de introducir estos espacios presentaremos algunas de la herramientas utilizadas para extraer la información relevante de estos espacios. Esto sera pues un primer vistazo a una teoría que va desarrollándose desde finales del siglo XIX y que continúa activa. Entre sus grandes logros se encuentran: la clasificación de las superficies, la demostración de la conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que 5, el problema del "invariante de Kervaire 1" y mas recientemente el desarrollo de técnicas topológicas para el análisis de datos. |
| Drets: |
Aquest document està subjecte a una llicència d'ús Creative Commons. Es permet la reproducció total o parcial, la distribució, la comunicació pública de l'obra i la creació d'obres derivades, fins i tot amb finalitats comercials, sempre i quan es reconegui l'autoria de l'obra original.  |
| Llengua: |
Català, anglès, castellà |
| Titulació: |
Matemàtiques [2500149] |
| Pla d'estudis: |
Grau en Matemàtiques [777] |
| Document: |
Objecte d'aprenentatge |
visitant ::
identificació
