| Data: |
2026 |
| Resum: |
Aquesta tesi aborda tres problemes estretament relacionats dins la teoria matemàtica de les equacions escalars actives, una classe d'equacions de transport no lineals i no locals, en què una quantitat escalar és advectada per un camp de velocitats determinat pel mateix escalar mitjançant un operador integral. L'equació d'Euler incompressible bidimensional en formulació de vorticitat, constitueix l'exemple principal que motiva l'estudi i serveix de model guia al llarg de tota la tesi. La primera part de la tesi tracta la bona posició en el sentit d'Hadamard, i en particular la dependència contínua de les solucions respecte de les dades inicials, per a una família d'equacions escalars actives en Rn introduïdes per Cantero. En aquest marc, el camp de velocitats és definit per la convolució amb un nucli homogeni de grau -(n - 1). Tot i que l'existència i unicitat de solucions amb regularitat de Hölder ja havia estat establerta anteriorment, la qüestió de la dependència contínua restava oberta. En aquest treball es demostra que el mapa solució és continu en l'espai de Hölder petit cγ i en la classe de Zygmund petita λ*, estenent així a aquest marc general els resultats corresponents de Misiołek i Yoneda per a les equacions d'Euler. La segona i la tercera part es dediquen a l'equació quasigeostròfica d'aigües somes (QGSW), un model bidimensional de fluxos geofísics a gran escala que convergeix formalment a l'equació d'Euler quan el radi invers de Rossby ε → 0. Establim una teoria de bona posició per a QGSW tant en espais de Hölder com en L∞ amb suport compacte, i demostrem la persistència global de la regularitat C1,γ per als contorns de vortex patch. A més, provem la convergència rigorosa de les solucions de QGSW cap a les solucions de l'equació d'Euler quan ε → 0, tant en l'espai de Hölder cγ com, amb taxes de convergència quantitatives òptimes, en L1 ∩ L∞. Aquests resultats són especialment rellevants per a solucions de tipus vortex patch i V-states. Finalment, introduïm un marc unificat per a l'estudi de la regularitat dels contorns de vortex patch per a una classe àmplia de models bidimensionals de funció de corrent, incloent-hi les equacions d'Euler, QGSW i les equacions gSQG. Per a una família general de nuclis radials, que permet singularitats més fortes que les del nucli d'Euler, es demostra la persistència local en el temps de la regularitat de Sobolev dels contorns de vortex patch. |
| Resum: |
Esta tesis aborda tres problemas estrechamente relacionados dentro de la teoría matemática de las ecuaciones escalares activas, una clase de ecuaciones de transporte no lineales y no locales, en las que una cantidad escalar es advectada por un campo de velocidades determinado por el propio escalar mediante un operador integral. La ecuación de Euler incompresible bidimensional en formulación de vorticidad constituye el ejemplo principal que motiva el estudio y sirve de modelo guía a lo largo de toda la tesis. La primera parte de la tesis trata la buena posición en el sentido de Hadamard, y en particular la dependencia continua de las soluciones respecto a los datos iniciales, para una familia de ecuaciones escalares activas en Rn introducidas por Cantero. En este marco, el campo de velocidades es definido por la convolución con un núcleo homogéneo de -(n - 1). Aunque la existencia y unicidad de soluciones con regularidad de Hölder ya había sido establecida anteriormente, la cuestión de la dependencia continua permanecía abierta. En este trabajo se demuestra que el mapa solución es continuo en el espacio de Hölder pequeño cγ y en la clase de Zygmund pequeña λ*, extendiendo así a este marco general los resultados correspondientes de Misiołek y Yoneda para las ecuaciones de Euler. La segunda y la tercera parte se dedican a la ecuación cuasigeostrófica de aguas somas (QGSW), un modelo bidimensional de flujos geofísicos a gran escala que converge formalmente en la ecuación de Euler cuando el radio inverso de Rossby ε → 0. Establecemos una teoría de buena posición para QGSW tanto en espacios de Hölder como en L∞ con soporte compacto, demostrando la persistencia global de la regularidad C1,γ para los contornos de vortex patch. Además, probamos la convergencia rigurosa de las soluciones de QGSW hacia las soluciones de la ecuación de Euler cuando ε → 0, tanto en el espacio de Hölder cγ como, con tasas de convergencia cuantitativas óptimas, en L1 ∩ L∞. Estos resultados son especialmente relevantes para soluciones de tipo vortex patch y V-states. Por último, introducimos un marco unificado para el estudio de la regularidad de los contornos de vortex patch para una clase amplia de modelos bidimensionales de función de corriente, incluyendo las ecuaciones de Euler, QGSW y las ecuaciones gSQG. Para una familia general de núcleos radiales, que permite singularidades más fuertes que las del núcleo de Euler, se demuestra la persistencia local en el tiempo de regularidad de Sobolev de los contornos de vortex patch. |
| Resum: |
This thesis addresses three closely related problems in the mathematical theory of active scalar equations, a class of nonlinear and nonlocal transport equations in which a scalar quantity is advected by a velocity field determined by the scalar itself through an integral operator. The two-dimensional incompressible Euler equation in vorticity formulation provides the main motivating example and serves as a guiding model throughout the thesis. The first part of the thesis concerns Hadamard well-posedness, and in particular the continuous dependence of solutions on initial data, for a family of active scalar equations in Rn introduced by Cantero. In this framework, the velocity field is given by convolution with a homogeneous kernel of degree -(n - 1). While the existence and uniqueness of Hölder-regular solutions were previously established, the issue of continuous dependence remained open. We show that the solution map is continuous in the little Hölder space cγ and in the little Zygmund class λ*, thereby extending to this general setting the corresponding results of Misiołek and Yoneda for the Euler equations. The second and third parts are devoted to the quasi-geostrophic shallow-water (QGSW) equation, a two-dimensional model for large-scale geophysical flows that formally converges to the Euler equation as the inverse Rossby radius ε → 0. We establish a well-posedness theory for QGSW both in Hölder spaces and in L∞ with compact support, and we prove global persistence of C1,γ regularity for vortex patch boundaries. Furthermore, we prove rigorous convergence of solutions of the QGSW equation to solutions of the Euler equation as ε → 0, both in the Hölder space cγ and, with sharp quantitative convergence rates, in L1 ∩ L∞. These results are particularly relevant for vortex patch and V-state solutions. Finally, we introduce a unified framework for the study of the regularity of vortex patch boundaries for a broad class of two-dimensional stream function models, including the Euler, QGSW, and generalized surface quasi-geostrophic equations. For a general family of radial kernels, allowing for singularities stronger than that of the Euler kernel, we prove local-in-time persistence of Sobolev regularity of vortex patch boundaries. |
| Nota: |
Universitat Autònoma de Barcelona. Programa de Doctorat en Matemàtiques. |
| Drets: |
Aquest document està subjecte a una llicència d'ús Creative Commons. Es permet la reproducció total o parcial, la distribució, la comunicació pública de l'obra i la creació d'obres derivades, sempre i quan aquestes es distribueixin sota la mateixa llicència que regula l'obra original i es reconegui l'autoria.  |
| Llengua: |
Anglès |
| Document: |
Tesi doctoral ; Text ; Versió publicada |
| Matèria: |
Equacions escalars actives ;
Active Scalar Equations ;
Ecuaciones escalares activas ;
Vortex patches ;
Parches de vorticidad ;
Equacions d'Euler ;
Euler equations ;
Ecuaciones de Euler ;
Ciències Experimentals |
visitant ::
identificació
