| Resum: |
Els objectius d'aquesta assignatura són de dos tipus: assolir formació en àlgebra bàsica i assolir coneixements i destreses per a manipular objectes abstractes. El curs presenta tres tipus d'estructures que l'alumne ja ha manipulat, com a mínim, a nivell d'exemples: Grups, Anells i Cossos. Iniciarem l'estudi de cadascuna de les estructures seguirem un esquema similar: definir l'estructura, la subestructura, els morfismes o aplicacions que conserven l'estructura, estructura quocient i Teoremes d'isomorfisme. Per cadascuna anirem una mica més enllà mirant de desenvolupar o d'indicar algun resultat interesant i particular de la teoría. En el cas dels grups seria el tema de l'acció d'un grup sobre un conjunt i els Teoremes de Sylow, en el cas dels anells seria la teoria de la divisibilitat, els cossos de fraccions i la caracterització dels dominis de factorització única. En el cas dels cossos finits el resultat principal seria el teorema d'existència i unicitat. Les estructures algebraiques són interessants perquè permeten abstreure propietats importants i ens ajuden a saber manipular exemples que poden ser de natura molt diferent. Així una part important del curs, i molts dels problemes es dedicaran a l'introducció i manipulació d'exemples. 1 En el cas de grups fonts d'exemples importants seran els grups de permutacions, els enters i els seus quocients i les matrius invertibles a coeficients un cos. En el cas dels anells, els enters i l'aritmética modular, i els subanells dels racionals són una font important d'exemples. En el curs volem fer molt ènfasi en el cas dels anells de polinomis en varies variables a coeficients un cos o, simplement, a un anell. Finalment, el cas dels cossos finits veurem que tots es "poden veure" com un quocient de l'anell de polinomis en una variable a coeficient el cos finit Z/pZ. Ens interessarà particularment saber com manipular aquests quocients. Entre els objectius de caire formatiu destaquem els següents: entendre i utilitzar correctament el llenguatge i el raonament matemàtic, en general, i algebraic, en particular. Ser capaç de fer petites demostracions, desenvolupar el sentit crític davant les afirmacions matemàtiques, desenvolupar actituds combatives i la creativitat davant els problemes i, finalment, apendre a aplicar els conceptes i resultats abstractes en exemples concrets. Presentar un raonament o un problema en públic i desenvolupar agilitat per respondre qüestions matemàtiques en una conversa. El desenvolupament sistemàtic del punt de vista abstracte en àlgebra comença a finals del segle XIX, inicis del segle XX i té a Emmy Noether com a precursora molt descada. Els treballs de David Hilbert van portar Emmy Noether del mon dels càlculs inacabables de la teoría d'invariants a les demostracions etèries i plenes d'abstracció. És coneguda l'anècdota (explicada per Max Noether, pare l'Emmy Noether, el 1914) que, en Paul Gordan (en aquest moment un dels algebristes més reputats del mon) quan va llegir les demostracions de David Hilbert (1888), va exclamar: Das ist keine Mathematik, das ist Theologie! (Això no son matemàtiques. Això és teologia!). El que volem amb aquest curs es que realment us sembli matemàtiques i no teologia, i que us engresqueu amb aquesta manera particular de pensar les coses. |
| Resum: |
Los objetivos de esta asignatura son de dos tipos: alcanzar formación en álgebra básica y lograr conocimientos y destrezas para manipular objetos abstractos. Entre los objetivos de carácter formativo destacamos los siguientes: entender y utilizar correctamente el lenguaje y el razonamiento matemático, en general, y algebraico, en particular. Ser capaz de hacer pequeñas demostraciones, desarrollar el sentido crítico ante las afirmaciones matemáticas, desarrollar actitudes combativas y la creatividad ante los problemas y, finalmente, aprender a aplicar los conceptos y resultados abstractos en ejemplos concretos. Presentar un razonamiento o un problema en público y desarrollar agilidad para responder cuestiones matemáticas en una conversación. |
visitant ::
identificació
