Planar vector field versions of Carathéodory's and Loewner's conjectures
Gutierrez, Carlos (Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Rio de Janeiro, Brasil))
Sánchez-Bringas, Federico (Universidad Nacional Autónoma de México. Departamento de Matemáticas)

Data:	1997
Resum:	Let r = 3, 4, . . . ,∞, ω. The Cr-Carathéodory's Conjecture states that every Cr convex embedding of a 2-sphere into R3 must have at least two umbilics. The Cr-Loewner's conjecture (stronger thanthe one of Carathéodory) states that there are no umbilics of index bigger than one. We show that these two conjectures are equivalent to others about planar vector fields. For instance, if r = ω, Cr-Carath'eodory's Conjecture is equivalent to the following one: Let ρ > 0 and β : U ⊂ R2 → R, be of class Cr, where U is a neighborhood of the compact disc D(0, ρ) ⊂ R2 of radius ρ centered at 0. If β restricted to a neighborhood of the circle ∂D(0, ρ) has the form β(x, y) = (ax2 + by2)/(x2 + y2), where a < b < 0, then the vector field (defined in U) that takes (x, y) to (βxx(x, y) − βyy(x, y), 2βxy(x, y)) has at least two singularities in D(0, ρ).
Drets:	Aquest material està protegit per drets d'autor i/o drets afins. Podeu utilitzar aquest material en funció del que permet la legislació de drets d'autor i drets afins d'aplicació al vostre cas. Per a d'altres usos heu d'obtenir permís del(s) titular(s) de drets.
Llengua:	Anglès
Document:	Article ; recerca ; Versió publicada
Publicat a:	Publicacions matemàtiques, V. 41 n. 1 (1997) p. 169-179, ISSN 2014-4350

Adreça alternativa: https://raco.cat/index.php/PublicacionsMatematiques/article/view/37889
DOI: 10.5565/PUBLMAT_41197_10

11 p, 128.9 KB

El registre apareix a les col·leccions:
Articles > Articles publicats > Publicacions matemàtiques
Articles > Articles de recerca