| Additional title: |
Numerical and Probabilistic Methods |
| Additional title: |
Métodos Numéricos y Probabilísticos |
| Date: |
2020-21 |
| Abstract: |
En els cursos d'anàlisis ens han ensenyat a calcular àrees de funcions per mitjà d'integrals, però també que no totes les funcions tenen una integral que es pugui expressar en una quantitat finita de funcions elementals. En els cursos d'àlgebra ens han ensenyat que un polinomi de grau n té n arrels (reals o complexes), però també que no tots els polinomis de grau 5 o superior tenen necessàriament que poder-se resoldre per mitjà de radicals. I també que moltes altres equacions no polinomials no es poden resoldre de forma explícita. En els cursos d'àlgebra ens han ensenyat a resoldre sistemes d'equacions mitjançant el mètode de Cramer, però sabeu que per resoldre un sistema 20x20 d'aquesta manera es necessitaria més temps del que té l'univers? En el primer curs de càlcul numèric ja es van introduir mètodes per resoldre aquest tipus de problemes, no per mètodes exactes, sinó per aproximacions numèriques. Aquesta forma d'abordar els problemes presenta algunes avantatges i alguns inconvenients. Les avantatges principals són que d'aquesta manera es poden resoldre problemes que d'altra manera seria impossible de resoldre. Una desavantatge és que no es troba mai la solució exacte sinó una aproximació numèrica. Això queda compensant per l'avantatge de que podem decidir a priori el grau de precisió amb la que volem obtenir la solució i aquest pot ser tan gran com desitgem (i disposem d'un ordinador prou bo com per 1 volem obtenir la solució i aquest pot ser tan gran com desitgem (i disposem d'un ordinador prou bo com per fer-ho amb un temps raonable). Un altra desavantatge és que el càlcul numèric es troba permanentment lluitant contra tota mena d'errors en les dades inicials, en la introducció de dades, i en el arrodoniment de les operacions, i aquests errors a més es propaguen a mesura que fem més i més operacions amb dades ja corruptes. Per tant, els mètodes de càlcul numèric han de saber lidiar també amb aquest problema. El primer curs de càlcul numèric es va acabar amb la resolució d'integrals de forma numèrica. En aquest segon curs ho seguirem fent amb nous mètodes més potents. Un altra forma de calcular integrals, per més inversemblant que sembli, és mitjançant mètodes aleatoris. Aquests mètodes s'han anomenat tradicionalment mètodes de Montecarlo com a paradigma de la meca del joc d'atzar. Veurem com de manera molt simple (encara que llarga de càlcul) es poden calcular àrees de funcions en una o varies dimensions, que d'altra manera serien impossibles de calcular. En aquest curs presentarem un nou tipus de problemes matemàtics que son molt freqüents en les modelitzacions de problemes de la vida real. De fet, pocs problemes de la vida real acaben simplement necessitant del càlcul d'una integral o de la solució d'una equació polinomial. La majoria dels problemes que es plantegen a la vida real acaben en problemes d'equacions diferencials, ja siguin ordinàries o be parcials. En un problema d'equacions diferencials, l'objectiu no es trobar un número que resolgui un problema, sinó trobar una funció. Alguns problemes d'equacions diferencials ordinàries poden ser resolts de forma exacte i això s'ha fet en l'assignatura de segon semestre que es diu Equacions Diferencials Ordinàries. Però com que moltes equacions diferencials tampc son resolubles de forma algebraica o analítica amb un nombre finit de termes, cal també usar d'eines numèriques per resoldre-les. |
| Abstract: |
En los cursos de análisis, se nos enseñó a calcular áreas de funciones por medio de integrales, pero también que no todas las funciones tienen una integral que se puede expresar en una cantidad finita de funciones elementales. En los cursos de álgebra hemos enseñado que un polinomio de grado n tiene n raíces (reales o complejas), pero también que no todos los polinomios de grado 5 o superiores tienen necesariamente que ser capaces de ser resueltos por medio de radicales. Y también que muchas otras ecuaciones no polinomiales no se pueden resolver explícitamente. En los cursos de álgebra se nos ha enseñado a resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer, pero ¿ya sabes qué para resolver un sistema 20x20 de esta manera se necesitaría más tiempo del que tiene el universo? En el primer curso de cálculo numérico se introdujeron métodos para resolver este tipo de problemas, no por algoritmos exactos, sinó por aproximaciones numéricas. Esta forma de abordar los problemas presenta algunas ventajas y algunos inconvenientes. Las principales ventajas son que de esta manera se pueden resolver problemas que de otra manera serían imposibles de resolver. Un inconveniente es que nunca se encuentra la solución exacta, sino una aproximación numérica. Esto se compensa por la ventaja de que podemos decidir a priori el grado de precisión con el que queremos obtener la solución y este puede ser tan grande como deseemos (y tenemos una computadora lo suficientemente buena para hacerlo en un tiempo razonable). Otra desventaja es que el cálculo numérico está luchando permanentemente contra todo tipo de 1 razonable). Otra desventaja es que el cálculo numérico está luchando permanentemente contra todo tipo de errores en los datos iniciales, en la introducción de datos, y al redondear las operaciones, y estos errores también se propagan a medida que hacemos más y más operaciones con datos ya corruptos. Por lo tanto, los métodos de cálculo numérico también deben ser capaces de lidiar con este problema. El primer curso de cálculo numérico terminó con la resolución de integrales en forma numérica. En este segundo año seguiremos haciéndolo con nuevos métodos más poderosos. Otra forma de calcular el área bajo una función, aunque parezca inverosímil, es mediante métodos aleatorios. Estos métodos tradicionalmente se han llamado métodos de Montecarlo como paradigma de la meca del juego. Veremos lo muy simple (aunque el cálculo es largo) es calcular áreas de funciones en una o más dimensiones, lo que de otro modo sería imposible de calcular. En este curso presentaremos un nuevo tipo de problemas matemáticos que son muy comunes en el modelado de problemas de la vida real, de hecho, pocos problemas de la vida real terminan simplemente necesitando el cálculo de una solución integral o de una ecuación polinomial. La mayoría de los problemas que surgen en la vida real terminan en problemas de ecuaciones diferenciales, ya sean ordinarias o parciales. En un problema de ecuaciones diferenciales, el objetivo no es encontrar un número para resolver un problema, sinó encontrar una función completa. Algunos problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden resolver exactamente y esto se ha hecho ya en el primer semestre, en la asignatura que se denomina ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, debido a que muchas ecuaciones diferenciales tampoco son resolubles por métodos algebraicos o analíticos con un número finito de términos, también es necesario utilizar herramientas numéricas para resolverlos. |
| Rights: |
Aquest document està subjecte a una llicència d'ús Creative Commons. Es permet la reproducció total o parcial, la distribució, la comunicació pública de l'obra i la creació d'obres derivades, fins i tot amb finalitats comercials, sempre i quan es reconegui l'autoria de l'obra original.  |
| Language: |
Català, anglès, castellà |
| Studies: |
Matemàtica Computacional i Analítica de Dades [2503740] |
| Study plan: |
Grau en Matemàtica Computacional i Analítica de Dades [1403] |
| Document: |
Objecte d'aprenentatge |
guest ::
