| Additional title: |
Dynamical Systems |
| Additional title: |
Sistemas Dinámicos |
| Date: |
2025-26 |
| Abstract: |
Aquest curs és una introducció a la teoria moderna de sistemes dinàmics. Un primer objectiu és que l'estudiant es familiaritzi amb la noció abstracta de sistema dinàmic i els conceptes bàsics d'aquesta teoria: estabilitat, atractor, conjunts invariants, límits omega, etc. El segon objectiu és entendre el comportament local, tant dels sistemes dinàmics discrets com dels continus, a l'entorn d'un punt d'equilibri o d'una òrbita periòdica. Aquest comportament local es basa en la classificació topològica dels sistemes lineals a Rⁿ, tant els que deriven del flux d'equacions diferencials ordinàries (sistemes dinàmics continus) com els que provenen de la iteració de funcions (sistemes dinàmics discrets). Els sistemes lineals són molt importants, ja que, d'una banda, apareixen en l'estudi de molts fenòmens físics d'interès, i de l'altra, perquè representen la primera aproximació a sistemes més complexos. La teoria qualitativa de les equacions diferencials es va iniciar amb els treballs de Poincaré cap a l'any 1880, en el marc dels seus estudis de mecànica celeste, i tracta de conèixer propietats de les solucions sense necessitat de resoldre les equacions, entre altres motius perquè la seva resolució només és possible en casos excepcionals. Aquest enfocament qualitatiu, quan es combina amb mètodes numèrics adequats, pot ser, en alguns casos, equivalent a disposar de les solucions de l'equació. Es profunditzarà en el coneixement i estudi, introduïts en assignatures anteriors del pla, de la teoria qualitativa d'equacions diferencials en espais de dimensió superior, amb èmfasi en l'estructura local dels punts d'equilibri (degenerats i no degenerats) i en l'estabilitat de les òrbites periòdiques. El darrer objectiu de l'assignatura és introduir les tècniques per comprendre la dinàmica global discreta. El fil conductor serà una família paramètrica de sistemes dinàmics discrets: les aplicacions unimodals, les quals (per a alguns valors del paràmetre) presenten una dinàmica que condueix de manera senzilla a la noció de caos. Per a aquests sistemes, l'aproximació numèrica no és factible i, per entendre'n la dinàmica, calen noves eines. Els sistemes caòtics es presenten sovint en aplicacions (problemes de predicció meteorològica, circuits elèctrics, etc. ). 1. |
| Abstract: |
This course is an introduction to the modern theory of dynamical systems. The first objective is for students to become familiar with the abstract notion of a dynamical system and the basic concepts of this theory: stability, attractor, invariant sets, omega limits, etc. The second objective is to understand the local behavior of both discrete and continuous dynamical systems in the vicinity of an equilibrium point or a periodic orbit. This local behavior is based on the topological classification of linear systems in Rⁿ, both those derived from the flow of ordinary differential equations (continuous dynamical systems) and those arising from function iteration (discrete dynamical systems). Linear systems are very important because, on the one hand, they appear in the study of many relevant physical phenomena, and on the other hand, they represent the first approximation to more complex systems. The qualitative theory of differential equations began with the work of Poincaré around 1880, in the context of his studies in celestial mechanics. It aims to understand properties of solutions without the need to solve the equations, among other reasons because exact solutions are only possible in exceptional cases. This qualitative approach, when combined with appropriate numerical methods, can in some cases be equivalent to having the solutions of the equation. The course will deepen the knowledge and study-introduced in previous subjects-of the qualitative theory of differential equations in higher-dimensional spaces, with an emphasis on the local structure of equilibrium points (both degenerate and non-degenerate) and the stability of periodic orbits. The final objective of the course is to introduce techniques for understanding global discrete dynamics. The guiding thread will be a parametric family of discrete dynamical systems: unimodal maps, which (for certain parameter values) exhibit dynamics that naturally lead to the notion of chaos. For these systems, numerical approximation is not feasible, and new tools are required to understand their dynamics. Chaotic systems often appear in applications (e. g. , weather prediction problems, electrical circuits, etc. ). 1. |
| Abstract: |
Este curso es una introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos. El primer objetivo es que el estudiante se familiarice con la noción abstracta de sistema dinámico y con los conceptos básicos de esta teoría: estabilidad, atractor, conjuntos invariantes, límites omega, etc. El segundo objetivo es comprender el comportamiento local, tanto de los sistemas dinámicos discretos como de los continuos, en las proximidadesde un punto de equilibrio o de una órbita periódica. Este comportamiento local se basa en la clasificación topológica de los sistemas lineales en Rⁿ, tanto los que derivan del flujo de ecuaciones diferenciales ordinarias (sistemas dinámicos continuos) como los que provienen de la iteración de funciones (sistemas dinámicos discretos). Los sistemas lineales son muy importantes porque, por un lado, aparecen en el estudio de muchos fenómenos físicos de interés y, por otro, representan la primera aproximación a sistemas más complejos. La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales se inició con los trabajos de Poincaré hacia el año 1880, en el contexto de sus estudios de mecánica celeste. Su objetivo es conocer propiedades de las soluciones sin necesidad de resolver las ecuaciones, entre otras razones porque la resolución exacta solo es posible en casos excepcionales. Este enfoque cualitativo, cuando se combina con métodos numéricos adecuados, puede ser, en algunos casos, equivalente a disponer de las soluciones de la ecuación. Se profundizará en el conocimiento y estudio -introducidos en asignaturas previas- de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales en espacios de dimensión superior, con énfasis en la estructura local de los puntos de equilibrio (degenerados y no degenerados) y en la estabilidad de las órbitas periódicas. El último objetivo de la asignatura es introducir las técnicas necesarias para comprender la dinámica global discreta. El hilo conductor será una familia paramétrica de sistemas dinámicos discretos: las aplicaciones unimodales, que (para ciertos valores del parámetro) presentan una dinámica que conduce de forma natural a la noción de caos. Para estos sistemas, la aproximación numérica no es factible y, para comprender su dinámica, se requieren nuevas herramientas. Los sistemas caóticos aparecen con frecuencia en aplicaciones (problemas de predicción meteorológica, circuitos eléctricos, etc. ). 1 (problemas de predicción meteorológica, circuitos eléctricos, etc. ). |
| Rights: |
Aquest document està subjecte a una llicència d'ús Creative Commons. Es permet la reproducció total o parcial, la distribució, la comunicació pública de l'obra i la creació d'obres derivades, fins i tot amb finalitats comercials, sempre i quan es reconegui l'autoria de l'obra original.  |
| Language: |
Català, anglès, castellà |
| Studies: |
Física [2500097] ; Matemàtiques [2500149] |
| Study plan: |
Grau en Física i Grau en Matemàtiques [1286] ; Grau en Matemàtiques [1616] ; Grau en Física i Matemàtiques [1622] ; Grau en Matemàtiques [777] |
| Document: |
Objecte d'aprenentatge |
guest ::
